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Erschienen in:

2019 | OriginalPaper | Buchkapitel

2. Theoretische Grundlagen

verfasst von : Markus Rütten

Erschienen in: Verallgemeinerte newtonsche Fluide

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Um einen theoretischen Überblick über die in dieser Arbeit auftretenden Transportmechanismen und deren Annahmen zu erhalten, werden zu Beginn die kontinuumsmechanischen Grundlagen des Stoff- und Wärmetransportes erläutert. Dazu werden basierend auf der Kontinuumsannahme die kinematischen Grundlagen der Strömungsmechanik eingeführt. Es folgen die Fachbegriffe der Kinematik und der Verformungskinematik mit ihren Maßen. Die auf das Fluid einwirkenden und eine Fluidbbewegung auslösenden äußeren und inneren Kräfte werden in der Dynamik behandelt. Die Interaktion der Kräfte und Strömungsgrößen führt auf die Herleitung der Bilanz- bzw. Erhaltungsgleichungen. Zudem wird auf die Zustandsgleichungen, den Wärme- und Temperaturtransport eingegangen.

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Vorheriges Kapitel Einleitung

Nächstes Kapitel Rheologie – Viskosität der Fluide

Wobei er selbst auf Euler verweist.

Hier beispielhaft eine skalare Größe betrachtet.

Im Englischen findet sich auch der Begriff fluid-frame time derivative.

Es findet sich häufig auch das Symbol \(\frac{d}{dt}\), das hier jedoch als raumfeste totale Ableitung verstanden werden soll.

Die partiellen Ableitungen werden durch das Symbol \(\partial\) gekennzeichnet.

Da die Gibbsche Notation verwendet wird, wird der räumliche Ableitungsoperator mit \(grad\) bezeichnet, alternativ findet man in der Literatur eine Notation in Nabla-Scheibweise mit dem Symbol ∇.

Auch hier wird der Notation von Böhme [6] gefolgt.

Es wird die Gibbsche Notation verwendet, daher die Schreibweise div.

Man findet auch die Bezeichnung Rotationstensor, doch diese kann verwirren, denn im Englischen ist der „rotatation tensor“ der Drehtensor, der in Abschn. 2.3.5.3 beschrieben wird. Der „spin tensor“ ist der Drehgeschwindigkeitstensor.

Da die Gibbsche Notation verwendet wird, wird für die räumliche Ableitung in lagrangescher Betrachtung das Symbol Grad verwendet.

Häufig wird anstelle von \(\mathbf{E}\) die Bezeichnung \(\mathbf{H}\) benutzt, da auch der Begriff Hamel-Almansi Dehnungsmaß geläufig ist.

Die Geschwindigkeitskomponenten im Kartesischen werden hier mit u, v, w bezeichnet.

In der Literatur findet sich häufig auch eine Definition des Deformationstensors ohne den Vorfaktor \(\frac{1}{2}\), dieser muss in den Berechnungen entsprechend berücksichtigt werden.

Im Englischen findet sich daher auch der Begriff strain rate für die Verzerrungsrate, manchmal auch mean shear rate für die allg. Scherrate.

Uniaxial wird mit u indiziert, biaxial mit b.

Mit dem Symbol \(\eth\) wird hier die allgemeine objektive Ableitung gekennzeichnet.

Häufig wird nicht sauber unterschieden, jedoch bezieht sich der Begriff Scherspannung auf die Wirkung der Kraft, diese löst eine Scherung aus, was z. B. zu einer Schichtenströmung führt. Dahingegen zielt der Begriff Schubspannung darauf ab, dass mit dieser Kraft Material auch verschoben werden kann.

Der Begriff Reibung wird in der Regel mit Schub- bzw. Scherspannungen verbunden, weniger mit Normalspannungen, diese treten jedoch im Extraspannungs- bzw. Reibungsspannungstensor weiterhin auf.

Es sei zu Gl. (2.214) noch angemerkt, dass es sich auch eine Schreibweise findet, wo der Divergenzterm auf der rechten Seite auch ein negatives Vorzeichen besitzt, siehe z. B. die Ausführungen im Lehrbuch von Durst [16]. Das negative Vorzeichen liegt darin begründet, dass der Reibungsspannungsterm als Reaktionsterm interpretiert wird, da er der Strömung sozusagen entgegenwirkt. Hier jedoch wird der Schnittuferkonvention der Mechanik gefolgt, daher das positive Vorzeichen. Welcher der beiden Argumentationen gefolgt wird, sollte sich nicht nur aus den Gleichungen entnehmen lassen sondern auch in den verwendeten Skizzen kenntlich gemacht werden.

Manchmal verschwimmt in der Literatur die Unterscheidung in die Zustandsgröße Energie E, in die Prozessgröße Arbeit W und in die Flussgröße Wärmestrom \(\dot{Q}\).

U ist das in der Thermodynamik verwendete Symbol.

Die Gesamtwärmemenge wird mit dem Symbol Q belegt.

In dieser Arbeit wird das Schnittprinzip der Mechanik als Konvention für die Vorzeichen herangezogen.

In der Thermodynamik wird die Größe meist mit dem Buchstaben u gekennzeichnet.

Auch hier ist die Schreibweise nicht einheitlich, daher findet man auch andere Symbole wie z. B. γ.

Daher wird häufig auch der Begriff Wandwärmefluss verwendet.

Vom Lateinischen convectum – mitgetragen.

Es sollen hier keine Lösungen verschiedener Spezies oder Konzentrationsunterschiede betrachtet werden.

Anstelle der normalerweise zu verwendenden vektoriellen Größe \(\dot{\mathbf{q}}_W\) wird sich hier nur auf die wandnormale Komponente konzentriert, die mit \(\dot{q}_W\) bezeichnet wird.

Je nach Problemstellung, Kühl- oder Heizfall, kann die Temperaturdifferenz umgekehrt definiert sein. Hier ist der ins Fluid einfließender Wärmestrom positiv definiert.

Bei niedrigviskosen Fluiden ist die durch Dissipation erzeugte Wärme gering, dies ändert sich für höherviskose Fluide in Abhängigkeit von der Strömung.

Für Fluide verschiedener Spezies entspricht dies dem Polytropenexponenten.

Anstelle des korrekten Begriffes Temperaturtransportgleichung wird häufig für diese Gleichung auch der Begriff Wärmetransportgleichung verwendet.

Diese Form der Gleichung ist für die später betrachtete Finite Volumen Methode wesentlich.

unter der speziellen Annahme, dass der Koordinateneinheitsvektor \(\mathbf{e}_z\) entsprechend der Wirklinie der Gravitation ausgerichtet ist.

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Titel: Theoretische Grundlagen
verfasst von: Markus Rütten
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Buch: Verallgemeinerte newtonsche Fluide
Print ISBN: 978-3-662-56225-3

Electronic ISBN: 978-3-662-56226-0

Copyright-Jahr: 2019
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-56226-0_2

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