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2008 | Buch

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Vorkurs Mathematik

Arbeitsbuch zum Studienbeginn in Bachelor-Studiengängen

verfasst von: Professor Dr. Erhard Cramer, Dr. Johanna Nešlehová

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : EMIL@A-stat

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Arbeitsbuch dient dem Aufbau und der Auffrischung mathematischer Grundlagen zum Studienbeginn. Es bietet eine systematische, statistikorientierte Aufbereitung der mathematischen Grundlagen sowie eine Fülle von Anwendungsbeispielen und Aufgaben aus dem Umfeld der angewandten Statistik. Alle Themen werden ausführlich erläutert und mit vielen Beispielen und Grafiken illustriert, so dass sich das Buch in hervorragender Weise zum Selbststudium eignet. Viele Aufgaben mit ausführlichen und vollständigen Lösungen ermöglichen das Einüben der behandelten Inhalte. Für die 3. Auflage wurde der Text vollständig überarbeitet. Weitere Materialien zum Buch bzw. zum mathematischen Grundwissen werden auf der Webseite www.vorkurs-mathematik.de zur Verfügung gestellt.

Das Buch richtet sich an Studienanfängerinnen und Studienanfänger in Bachelor-Studiengängen, insbesondere der Wirtschafts-, Sozial- und Ingenieurwissenschaften. Darüber hinaus wendet es sich an Studierende in Fachrichtungen mit Statistikanteil, in denen eine vorbereitende Mathematikveranstaltung fehlt (z.B. Medizin oder Psychologie).

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Grundlagen

Auszug

Die Mathematik und damit auch die Statistik beruhen — wie eine Fremdsprache — auf einem Vokabular, ohne das mathematische Ausdrücke, Aussagen und Resultate nicht verstanden werden können. Bestandteile dieser Fachsprache sind neben mathematischen Symbolen zentrale Begriffe wie Variablen und Funktionen sowie logische Verknüpfungen von Aussagen. Diese Formalismen dienen sowohl der einfachen, exakten und prägnanten Beschreibung von Sachverhalten als auch einer möglichst allgemeinen Modellierung realer Situationen. Die formale Sprache der Mathematik hat gegenüber verbalen Formulierungen den Vorteil, dass der betrachtete Inhalt präzise dargestellt wird und Mehrdeutigkeiten vermieden werden. Zum Verständnis dieser Sprache ist es jedoch von entscheidender Bedeutung, ihre Notationen und Symbole zu kennen und zu verstehen.

Kapitel 2. Mengen

Auszug

Nachdem in 4▸Kapitel 1.1 der Begriff einer Menge bereits eingeführt wurde, werden in diesem Abschnitt Mengen und ihre Eigenschaften, spezielle Mengen sowie Mengenoperationen näher untersucht. Zunächst werden Venndiagramme als praktische und einfache Visualisierung von Mengen und Mengenoperationen vorgestellt.

Kapitel 3. Elementare Rechenoperationen

Auszug

In 19▸Abschnitt 1.2 wurden Brüche _a ^b als alternative Schreibweise für Quotienten a : b eingeführt. Im Folgenden werden Eigenschaften und Rechenregeln für den Umgang mit Brüchen vorgestellt, die u.a. auch die Berechnung von Termen erleichtern. Aus diesen Regeln resultieren z.B. die Umformungen

$$ \left( {\frac{3} {7} + \frac{5} {3}} \right)\left( {\frac{1} {2} + \frac{5} {{11}}} \right) = \frac{{9 + 35}} {{21}} \cdot \frac{{21}} {{22}} = 2, \frac{{x^2 + 2x + 1}} {{x^3 + x^2 - x - 1}} = \frac{1} {{x - 1}}. $$

Kapitel 4. Summen- und Produktzeichen

Auszug

Das Summenzeichen ∑ dient der Vereinfachung der Notation, wenn viele Zahlen gleicher Struktur summiert werden. Die Summe aller geraden Zahlen von 2 bis 20 kann beispielsweise durch Auflistung aller Summanden explizit angegeben werden 2 + 4 + 6 + 8 + 10+ 12 + 14+ 16 + 18+ 20.

Kapitel 5. Funktionen

Auszug

In diesem Abschnitt werden die für die Mathematik fundamentalen Konzepte Abbildung und Funktion eingeführt, die spezielle Zuordnungen von Elementen einer Menge $ \mathbb{D} $ (dem Definitionsbereich) zu Elementen einer Menge $ \mathbb{W} $ (dem Wertebereich) darstellen. Eine Zuordnung (Relation) ist eine Vorschrift, die einen Bezug zwischen den Elementen zweier Mengen herstellt. Sie kann als Teilmenge $ \mathbb{V} $ des 61▸kartesischen Produkts von $ \mathbb{D} $ und $ \mathbb{W} $ aufgefasst werden

$$ \mathbb{V} = \{ (d,w)|d \in \mathbb{D} steht in Relation zu w \in \mathbb{W}\} \subseteq \mathbb{D} \times \mathbb{W}, $$

wobei die Eigenschaft steht in Relation zu eine Festlegung der Beziehung zwischen den Elementen d und w ist. Diese Darstellung ermöglicht u.a. auch die Beschreibung der 11▸Ordnungsrelationen. Beispielsweise wird die Gleichheitsrelation „ = “ auf den reellen Zahlen unter Verwendung der Menge

$$ \mathbb{G} = \{ (d,d)|d \in \mathbb{R}\} , $$

definiert gemäß d = w ⇔ (d, w) ∈ $ \mathbb{G} $.

Kapitel 6. Gleichungen

Auszug

Alle mathematischen Gleichungen haben die selbe Struktur. Sie bestehen aus zwei Termen, die durch das Gleichheitszeichen in Relation gesetzt und als rechte und linke Seite der Gleichung bezeichnet werden. Ein weiteres, wesentliches Merkmal einer Gleichung ist, dass die Terme i.Allg. (evtl. mehrere) Variablen (Unbekannte) enthalten.

Kapitel 7. Polynome und Polynomgleichungen

Auszug

In 195▸Kapitel 6.2 wurden quadratische Gleichungen eingeführt und Lösungsmethoden bereitgestellt. Es ist nun nahe liegend, Gleichungen zu betrachten, in denen auch höhere Potenzen vorkommen, wie z.B.

$$ \underbrace {x^3 - 6x^2 + 11x - 6}_{ = f(x)} = 0. $$

Die linke Seite dieser Gleichung definiert ein 161▸Polynom f. Allgemein sind diese gegeben durch die Festlegung

$$ f(x) = \sum\limits_{j = 0}^n {a_j x^j = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 , x \in \mathbb{R}} , $$

mit Koeffizienten a_n ≠ 0, a_n−1,..., a₁, a₀ ∈ ℝ. a₀ heißt Absolutglied, die Zahl n heißt Grad des Polynoms f. Durch die Vorschrift

$$ f(x) = 12x^5 - 5x^3 + 3x^2 - x $$

wird ein Polynom vom Grad 5 mit den Koeffizienten

$$ a_5 = 12, a_4 = 0, a_3 = - 5, a_2 = 3, a_1 = - 1 und a_0 = 0 $$

definiert.

Kapitel 8. Ungleichungen

Auszug

Die Ersetzung des Gleichheitszeichens in einer 187▸Gleichung durch ein Ordnungszeichen „≤“, „<“, „≥“ oder „>“ führt zu einer Ungleichung. Sie besitzt analog zu einer Gleichung eine linke und eine rechte Seite, wie z.B.

$$ \underbrace {x^2 - 4x}_{linke Seite} \leqslant \underbrace {2x - 5}_{rechte Seite}. $$

Die Lösungsmenge $ \mathbb{L} $ einer Ungleichung besteht aus allen Zahlen, die eingesetzt für die Variable die Ungleichung erfüllen.

Kapitel 9. Folgen und Reihen

Auszug

In 9▸Kapitel 1.2 wurden u.a. die natürlichen Zahlen eingeführt. Diese Menge besitzt unendlich viele Elemente und wird i.Allg. in der aufzählenden Schreibweise ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...} notiert. Da die Reihenfolge der Elemente in der aufzählenden Darstellung einer Menge ohne Bedeutung ist, beschreibt die Menge {3, 2, 1, 4, 5, 6,...} ebenfalls die natürlichen Zahlen. Die Interpretation der natürlichen Zahlen als 313▸Folge berücksichtigt jedoch die Reihenfolge der Aufzählung, d.h. in dieser Situation hat jeder Eintrag einen eindeutig definierten Nachfolger: auf 1 folgt 2, auf 2 folgt 3 etc. Zur Abgrenzung der Notation werden die Mengenklammern durch runde Klammern ersetzt (1, 2, 3, 4,...). Eine Folge ist somit eine Erweiterung eines 62▸n-Tupels in dem Sinne, dass die Folge statt der festen Anzahl n unendlich viele Komponenten hat. Wie bei Tupeln sind zwei Folgen verschieden, wenn sie sich an mindestens einer Stelle unterscheiden. Daher gilt beispielsweise (1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .) ≠ (3, 2, 1, 4, 5, 6, . . .).

Kapitel 10. Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

Auszug

In 313▸Kapitel 9 wurden Folgen und deren Grenzwerte eingeführt. Mittels der Konvergenz von Folgen wird der Begriff der Konvergenz für Funktionen bei Annäherung an eine Stelle x₀ des Definitionsbereichs bzw. an den 59▸Rand des Definitionsbereichs eingeführt.

Kapitel 11. Integration

Auszug

Die Berechnung von Integralen ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der angewandten Statistik ein wichtiges Hilfsmittel zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten, Verteilungsfunktionen, Erwartungswerten, Varianzen und anderen Kenngrößen bei zu Grunde liegenden stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Kapitel 12. Optimierung

Auszug

Im Rahmen der Optimierung werden größte bzw. kleinste Werte einer Funktion f auf ihrem Definitionsbereich gesucht, d.h. es gilt ein Problem der Art

$$ Maximiere (Minimiere) f(x) f\ddot ur x \in \mathbb{D} $$

zu lösen. Optimierungsprobleme treten in vielen Bereichen der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung auf. Sie entstehen u.a. bei der Berechnung von Schätzfunktionen oder bei der Minimierung von Abweichungen. Mit den vorgestellten Methoden der 347▸Differentialrechnung werden zunächst Kandidaten für 402▸Minima und Maxima ermittelt, die dann mit geeigneten Kriterien auf ihre Optimalität überprüft werden. Durch Multiplikation der zu maximierenden bzw. zu minimierenden Funktion mit dem Faktor −1 können Maximierungs- und Minimierungsprobleme jeweils ineinander überführt werden.

Backmatter

Titel: Vorkurs Mathematik
verfasst von: Professor Dr. Erhard Cramer
Dr. Johanna Nešlehová
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-540-78181-3
Print ISBN: 978-3-540-78180-6
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-540-78181-3

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Inhaltsverzeichnis

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Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 2. Mengen

Kapitel 3. Elementare Rechenoperationen

Kapitel 4. Summen- und Produktzeichen

Kapitel 5. Funktionen

Kapitel 6. Gleichungen

Kapitel 7. Polynome und Polynomgleichungen

Kapitel 8. Ungleichungen

Kapitel 9. Folgen und Reihen

Kapitel 10. Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

Kapitel 11. Integration

Kapitel 12. Optimierung

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