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2015 | Buch

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Vorkurs Mathematik

Arbeitsbuch zum Studienbeginn in Bachelor-Studiengängen

verfasst von: Erhard Cramer, Johanna Nešlehová

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : EMIL@A-stat

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Das Arbeitsbuch dient dem Aufbau und der Auffrischung mathematischer Grundlagen zum Studienbeginn und bietet eine systematische Aufbereitung der Schulmathematik mit Bezügen zur angewandten Statistik. Alle Themen werden ausführlich und mit vielen Beispielen und Grafiken erläutert, so dass sich das Buch zum Selbststudium und als Begleittext zu einem Vorkurs/Brückenkurs eignet. Zu allen Aufgaben gibt es ausführliche und vollständige Lösungen. Das Buch richtet sich an Studienanfänger/innen in Bachelorstudiengängen, insbesondere der Wirtschafts-, Sozial- und Ingenieurwissenschaften. Darüber hinaus wendet es sich an Studierende in Fachrichtungen mit Statistikanteil, in denen eine vorbereitende Mathematikveranstaltung fehlt (z.B. Medizin, Psychologie).

Themen: mathematische Grundbegriffe und Symbolik, Mengenlehre, Bruch-/Potenzrechnung, Funktionen, Folgen, (Un)Gleichungen, Grenzwerte, Differential-/Integralrechnung, Optimierung. Weitere Materialien sind im Internet verfügbar.

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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Grundlagen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden grundlegende mathematische Symbole, Notationen und Sprechweisen eingeführt. Des Weiteren werden die Zahlbereiche sowie Addition und Multiplikation vorgestellt. Weitere Themen sind binomische Formeln, Dezimaldarstellung von Zahlen sowie Indizierung von Variablen.

Alle Konzepte, Eigenschaften und Regeln werden ausführlich erläutert und mit vielen Beispielen illustriert. Zur Einübung des Stoffs stehen zahlreiche Aufgaben mit detaillierten Lösungen zur Verfügung.

Erhard Cramer, Johanna Nešlehová

2. Mengen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden Mengen und ihre Eigenschaften, spezielle Mengen sowie Mengenoperationen näher untersucht. Zunächst werden Venndiagramme als praktische und einfache Visualisierung von Mengen und Mengenoperationen vorgestellt. Anschließend werden Rechnungen mit Verknüpfungen von Mengen (u.a. die Regeln von de Morgan) erläutert und illustriert. Zudem werden Intervalle, Teilmengen der Euklidischen Ebene, kartesische Produkte, Graphen von Funktionen sowie Streudiagramme behandelt.

Alle Konzepte, Eigenschaften und Regeln werden ausführlich erläutert und mit vielen Beispielen illustriert. Zur Einübung des Stoffs stehen zahlreiche Aufgaben mit detaillierten Lösungen zur Verfügung.

Erhard Cramer, Johanna Nešlehová

3. Elementare Rechenoperationen

Zusammenfassung

Das Kapitel befasst sich mit hauptsächlich mit Termumformungen und behandelt dabei insbesondere Brüche, Potenzen, Wurzeln und Logarithmen. Die zugehörigen Regeln werden ausführlich diskutiert und ihre Anwendung detailliiert erläutert.

Alle Konzepte, Eigenschaften und Regeln werden ausführlich erläutert und mit vielen Beispielen illustriert. Zur Einübung des Stoffs stehen zahlreiche Aufgaben mit detaillierten Lösungen zur Verfügung.

Erhard Cramer, Johanna Nešlehová

4. Summen- und Produktzeichen

Zusammenfassung

Summen- und Produktzeichen werden als vereinfachende Notation für Summen und Produkte von Zahlen eingeführt. Zugehörige Rechenregeln und Tricks wie etwa die Indexverschiebung werden ausführlich erläutert und an vielen Beispielen illustriert. Ferner werden spezielle Summen (u.a. geometrische Summe) und Doppelsummen behandelt. Abschließend werden Fakultäten und Binomialkoeffizienten sowie deren Eigenschaften behandelt und illustriert.

Alle Konzepte, Eigenschaften und Regeln werden ausführlich erläutert und mit vielen Beispielen illustriert. Zur Einübung des Stoffs stehen zahlreiche Aufgaben mit detaillierten Lösungen zur Verfügung.

Erhard Cramer, Johanna Nešlehová

5. Funktionen

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt werden die für die Mathematik fundamentalen Konzepte Abbildung und Funktion eingeführt. Beginnend bei Relationen werden zunächst grundlegende Funktionen sowie elementare Eigenschaften von Funktionen vorgestellt. Nach einer Zusammenstellung grundlegender Funktionen werden weitergehende Eigenschaften wie Monotonie, Beschränktheit und Umkehrbarkeit diskutiert.

Alle Konzepte, Eigenschaften und Regeln werden ausführlich erläutert und mit vielen Beispielen illustriert. Zur Einübung des Stoffs stehen zahlreiche Aufgaben mit detaillierten Lösungen zur Verfügung.

Erhard Cramer, Johanna Nešlehová

6. Gleichungen

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt werden die wesentliche Typen elementarer Gleichungen in einer Variablen und die zugehörigen Lösungsmöglichkeiten vorgestellt. Insbesondere werden lineare und quadratische Gleichungen, Bruch- und Wurzelgleichungen, logarithmische Gleichungen und Exponentialgleichungen behandelt. Ergänzend werden Gleichungen mit Parametern sowie die Methode der Variablensubstitution präsentiert. Abschließend werden noch lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten thematisiert.

Alle Konzepte, Eigenschaften und Regeln werden ausführlich erläutert und mit vielen Beispielen illustriert. Zur Einübung des Stoffs stehen zahlreiche Aufgaben mit detaillierten Lösungen zur Verfügung.

Erhard Cramer, Johanna Nešlehová

7. Polynome und Polynomgleichungen

Zusammenfassung

Ergänzend zum Kapitel Gleichungen werden speziell Polynomgleichungen und zugehörige Lösungsstrategien diskutiert. Dies beinhaltet insbesondere die Themen Polynomdivision sowie Polynome und ihre Eigenschaften.

Alle Konzepte, Eigenschaften und Regeln werden ausführlich erläutert und mit vielen Beispielen illustriert. Zur Einübung des Stoffs stehen zahlreiche Aufgaben mit detaillierten Lösungen zur Verfügung.

Erhard Cramer, Johanna Nešlehová

8. Ungleichungen

Zusammenfassung

In Erweiterung zum Thema Gleichungen werden Lösungsstrategien für Ungleichungen vorgestellt. Die Methoden zur Ermittlung der Lösungsmenge werden dabei zurückgeführt auf die Lösung von Gleichungen. Behandelt werden insbesondere quadratische Gleichungen und Bruchgleichungen.

Alle Konzepte, Eigenschaften und Regeln werden ausführlich erläutert und mit vielen Beispielen illustriert. Zur Einübung des Stoffs stehen zahlreiche Aufgaben mit detaillierten Lösungen zur Verfügung.

Erhard Cramer, Johanna Nešlehová

9. Folgen und Reihen

Zusammenfassung

Das Kapitel beinhaltet eine Einführung in das Konzept der Folgen und Reihen. Nach der Behandlung von Bildungsgesetzen werden Eigenschaften von Folgen wie Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz ausführlich dargestellt. Zudem werden spezielle Folgen und Reihen sowie Konvergenzkriterien thematisiert.

Alle Konzepte, Eigenschaften und Regeln werden ausführlich erläutert und mit vielen Beispielen illustriert. Zur Einübung des Stoffs stehen zahlreiche Aufgaben mit detaillierten Lösungen zur Verfügung.

Erhard Cramer, Johanna Nešlehová

10. Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

Zusammenfassung

Mittels der Konvergenz von Folgen werden Grenzwerte für Funktionen eingeführt und Rechenregeln zur Bestimmung von Grenzwerten (insbesondere bei gebrochen rationalen Funktionen) vorgestellt. Anschließend werden Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen diskutiert. Dies umfasst insbesondere die Begriffe Steigung und Ableitung sowie die Behandlung von Regeln zur Berechnung von Ableitungen (Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel).

Alle Konzepte, Eigenschaften und Regeln werden ausführlich erläutert und mit vielen Beispielen illustriert. Zur Einübung des Stoffs stehen zahlreiche Aufgaben mit detaillierten Lösungen zur Verfügung.

Erhard Cramer, Johanna Nešlehová

11. Integration

Zusammenfassung

Die Methode der Integration wird als Umkehrung der Differenzialrechnung bzw. als Methode zur Berechnung von Flächeninhalten vorgestellt. Nach einer Einführung über Ober- und Untersummen werden bestimmte und unbestimmte Integrale sowie zugehörige Lösungsmethoden (Faktor- und Summenregel, partielle Integration, Substitution) behandelt.

Alle Konzepte, Eigenschaften und Regeln werden ausführlich erläutert und mit vielen Beispielen illustriert. Zur Einübung des Stoffs stehen zahlreiche Aufgaben mit detaillierten Lösungen zur Verfügung.

Erhard Cramer, Johanna Nešlehová

12. Optimierung

Zusammenfassung

Mit Methoden der Differenzialrechnung werden Optimierungsprobleme in einer Variablen ausführlich behandelt. Dabei werden insbesondere notwendige und hinreichende Kriterien für lokale Extrema (Monotonie, Krümmung) diskutiert. Des Weiteren werden die Suche nach globalen Extrema sowie die Optimierung stückweise definierter Funktionen erläutert sowie Anwendungen in der Statistik (u.a. Maximum-Likelihood-Methode) vorgestellt.

Alle Konzepte, Eigenschaften und Regeln werden ausführlich erläutert und mit vielen Beispielen illustriert. Zur Einübung des Stoffs stehen zahlreiche Aufgaben mit detaillierten Lösungen zur Verfügung.

Erhard Cramer, Johanna Nešlehová

Backmatter

Titel: Vorkurs Mathematik
verfasst von: Erhard Cramer
Johanna Nešlehová
Copyright-Jahr: 2015
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-46400-7
Print ISBN: 978-3-662-46399-4
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-46400-7

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