4. Zur Unmöglichkeit der Würfelverdoppelung und der Winkeldreiteilung

Genauso, wie wir nach möglichen Faktorisierungen ganzer Zahlen fragen können, können wir nach Faktorisierungen von Polynomen (in Polynome kleineren Grades) fragen, wie wir im letzten Kapitel gesehen haben. Dabei nennen wir ein Polynom irreduzibel, wenn es keine solche Faktorisierung zulässt. Die irreduziblen Polynome spielen also die Rolle der Primzahlen im Ring der Polynome. Jedes lineare Polynom \(X - a\) muss irreduzibel sein, denn schon aus Gradgründen kann es keine Faktorisierung in Polynome kleineren Grades geben. Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra sind die linearen Polynome wiederum die einzigen irreduziblen, wenn wir als Koeffizientenbereich die algebraischen Zahlen voraussetzen. Über den rationalen Zahlen ist die Theorie dagegen komplizierter, aber auch interessanter. So gibt es nichtirreduzible Polynome höheren Grades wie \(X^2 - 1 = (X - 1) \cdot (X + 1)\), wie auch irreduzible wie \(X^2 + 1\). Es stellt sich die natürliche Frage, wie wir feststellen können, ob ein Polynom, sagen wir über den rationalen Zahlen, irreduzibel ist. Dazu geben wir ein numerisches Verfahren an, durch das wir mit Sicherheit feststellen können, ob ein solches Polynom irreduzibel ist oder nicht. Daraus folgt, dass jedes Polynome eine im Wesentlichen eindeutige Zerlegung in ein Produkt irreduzibler Polynome besitzt, vergleichbar mit der Primfaktorzerlegung ganzer Zahlen. Auch wenn das numerische Verfahren, welches wir angeben, immer funktioniert, gibt es für viele Fälle einfachere Kriterien für die Irreduzibilität. Wir stellen dazu das eisensteinsche Kriterium und ein weiteres Verfahren vor, welches Irreduzibilität modulo einer Primzahl untersucht. Dazu vergleichen wir insbesondere die Irreduzibilität von Polynomen mit rationalen Koeffizienten mit der Irreduzibilität von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten. Eine algebraische Zahl z ist definiert als eine komplexe Zahl, welche Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. Es zeigt sich nun, dass es unter diesen genau ein irreduzibles normiertes gibt, das sogenannte Minimalpolynom von z. Den Grad dieses Minimalpolynomes nennen wir einfach den Grad von z. Mit Hilfe dies Gradbegriffes zeigen wir schließlich am Ende des Kapitels, dass sowohl weder die Würfelverdoppelung noch die Winkeldreiteilung allein mit Zirkel und Lineal möglich ist.