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Über dieses Buch

Das vorliegende Buch ist der erste Band eines zweibändigen Werkes über Analysis und behandelt die Funktionen einer reellen Veränderlichen. In der komplexen Analysis beschränkt es sich im wesentlichen auf Potenzreihen. Es enthält insbesondere den Stoff, welcher üblicherweise im ersten Semester einer einführenden Analysis-Vorlesung für Mathematiker, Physiker und Informatiker geboten wird, und geht an einigen Stellen darüber hinaus. Das Buch wendet sich an Studenten, denen es sich als ein hilfreicher Begleiter der Vorlesung und eine Quelle zur Vertiefung des Gegenstandes anbietet, an die im Beruf stehen­ den Mathematiker, besonders an die Lehrer an weiterführenden Schulen, und schließlich an alle, die etwas über die Analysis und ihre Bedeutung im größeren naturwissenschaftlichen und kulturellen Zusammenhang erfahren möchten. Damit sind wir bei einem wesentlichen Anliegen der Lehrbuchreihe "Grundwissen Mathematik", dem historischen Bezug. Die mathematischen Be­ griffe und Inhalte der Analysis sind nicht vom Himmel der reinen Erkenntnis gefallen, und kein Denker im Elfenbeinturm hat sie ersonnen. Die europäische Geistesgeschichte beginnt dort, wo Natur nicht mehr als rätselhaftes, von un­ heimlichen höheren Mächten gesteuertes Geschehen, sondern als rational erklärbar verstanden wird: bei den jonischen Philosophen des 6. vorchrist­ lichen Jahrhunderts. Die Analysis ist entstanden in der Verfolgung dieses Zie­ les, die Welt rational zu durchdringen und ihre Gesetzmäßigkeiten zu finden. Ihre Geschichte ist ein Stück Kulturgeschichte.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Grundlagen

§ 1. Reelle Zahlen

Zusammenfassung
Die Entwicklung des Zahlbegriffs ist im Grundwissen-Band 1 Zahlen ausführlich dargestellt. Wir gehen darauf nur insoweit ein, als es zum Verständnis der Analysis in ihrem historischen Werdegang notwendig erscheint.
Wolfgang Walter

§ 2. Natürliche Zahlen und vollständige Induktion

Zusammenfassung
Nachdem um 1870 die reellen Zahlen auf verschiedene Weise unter Benutzung rationaler Zahlen erklärt waren (vgl. § 1), erwachte das Bedürfnis, auch die letzteren (und das heißt, die natürlichen Zahlen) auf ein sicheres Fundament zu stellen. Dedekind und G. Peano (1858–1932, italienischer Mathematiker, Professor an der Universität Turin) entwickelten Axiomensysteme für die natürlichen Zahlen, bei denen der Vorgang des Zählens, der Übergang von n Zusammenfassung seinem Nachfolger n + 1, eine zentrale Rolle spielt; vgl. Kapitel 1 im Grundwissen-Band Zahlen. Bei dem in diesem Buch gewählten Aufbau der Analysis auf der Grundlage der reellen Zahlen geht es nicht um eine axiomatische Begründung der natürlichen Zahlen. Sie sind schon da, wir müssen sie nur finden !
Wolfgang Walter

§ 3. Polynome und Wurzeln

Zusammenfassung
Die Bestimmung der Seitenlänge eines Quadrats oder eines Würfels von gegebenem Inhalt führt auf Quadrat- und Kubikwurzeln, worauf schon die Namen hindeuten. Diese und verwandte Aufgaben über Dreiecke, Trapeze, Pyramidenstümpfe, treten schon im Altertum in vielerlei Gestalt auf, etwa beim Bau von Mauern und Dämmen, dem Fassungsvermögen von Gefäßen und Getreidespeichern. Aus altbabylonischer Zeit sind uns Tabellen von Quadrat- und Kubikwurzeln und Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen überliefert.
Wolfgang Walter

Grenzwert und Stetigkeit

§ 4. Zahlenfolgen

Zusammenfassung
Zu den wichtigsten und ältesten Themen der Mathematik gehört die Bildung und Untersuchung von Grenzwerten. Bereits bei den Babyloniern gibt es Überlegungen im Vorfeld des Grenzwertbegriffs, und zwar im Zusammenhang mit der Approximation von irrationalen Größen, wie sie bei Aufgaben mit quadratischen Gleichungen vorkommen. Uns sind bewundernswerte Approximationen aus dieser Zeit überliefert, z.B. der Näherungswert
$$1;24;51;10 = 1 + \frac{{24}}{{60}} + \frac{{51}}{{{{60}^2}}} + \frac{{10}}{{{{60}^3}}} = 1,41421296$$
für \(\sqrt 2\) mit einem Fehler >6·10-7. Jedoch fehlen, soweit wir wissen, grundsätzliche Untersuchungen über die Unmöglichkeit, den genauen Wert anzugeben.
Wolfgang Walter

§ 5. Unendliche Reihen

Zusammenfassung
Die frühesten Gedanken über das Unendlichgroße und Unendlichkleine haben mit unendlichen Summen, dem Aneinanderfügen in infinitum, also mit dem zu tun, was zum Bereich der unendlichen Reihen gehört. Zenon von Elea (ca. 490–430 v.Chr., griechischer Philosoph, Lieblingsschüler des Parmenides) hat in seinen bekannten Paradoxien des Raumes und der Bewegung als erster die logischen Fallstricke aufgezeigt, die im Bereich des Unendlichkleinen ausgespannt sind. Von ihm nimmt der horror infini, die Angst und Scheu vor dem Unendlichen seinen Ausgang, der die Mathematik bis in die Neuzeit entscheidend beeinflußt hat. Wenn man Endliches und gleich Großes unendlich oft aneinanderfügt, so ergibt sich Unendliches, wenn man aber Dimensionsloses, keine Ausdehnung Besitzendes, unendlich oft aneinanderfügt, ergibt sich nichts. So etwa kann man zwei der Prinzipien ausdrücken, mit denen Zenon arbeitet. Ein Läufer kann eine Strecke nur durchlaufen, wenn er zuvor die Hälfte der Strecke durchlaufen hat, und diese nur, wenn er zuvor die Hälfte der Hälfte durchmißt, usw. So muß er eine unendliche Anzahl von immer kleiner werdenden Strecken durchlaufen, ehe die Bewegung in Gang kommt. Das ist (nach Zenon) unmöglich, und so gibt es keine Bewegung.
Wolfgang Walter

§ 6. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit

Zusammenfassung
In der historischen Entwicklung treten zwei Gesichtspunkte auf, ein statischer und ein dynamischer. Beim ersten handelt es sich um Stetigkeit als etwas (möglicherweise) Seiendes, um das Kontinuum, beim zweiten um die stetige Veränderung einer Größe. Den ersten Problemkreis haben wir in §1 bei den reellen Zahlen diskutiert. Es sei nochmals daran erinnert, daß die „statische” Stetigkeit heutzutage als Vollständigkeit bezeichnet wird. Unser Gegenstand ist die „dynamische” Stetigkeit. Die Klärung dieses Begriffs vollzog sich Hand in Hand mit der Entwicklung des allgemeinen Funktionsbegriffes. Deshalb wird unser Gang durch die Geschichte auch wesentliche Stationen auf dem Weg zum heutigen Funktionsbegriff berühren.
Wolfgang Walter

§ 7. Potenzreihen. Elementar-transzendente Funktionen

Zusammenfassung
Werfen wir zunächst einen Blick auf die Art und Weise, wie im 17. Jahrhundert wissenschaftliche Entdeckungen und neue Ideen Verbreitung fanden. Die hergebrachten Formen der Wissensvermehrung, Bücher und Reisen zu den Lehrstätten der berühmten Gelehrten, erwiesen sich mit dem immer schnelleren Fortschritt der Wissenschaft als zunehmend unzulänglich. Neue Wege wurden beschritten durch die Gründung von wissenschaftlichen Akademien und wissenschaftlichen Zeitschriften. So wurde 1603 in Rom die Academia Nazionale dei Lincei, 1652 die Deutsche Akademie der Naturforscher (Leopoldina) in Halle, 1660 die Royal Society of London und 1666 die Académie des Sciences in Paris gegründet. Neben den Publikationsorganen der Akademien entstanden selbständige wissenschaftliche Journale. Den Anfang macht das erstmals 1665 in Paris erschienene Journal des Sçavans. In Deutschland wurden von 1682–1774 die Acta Eruditorum herausgegeben, in der zahlreiche für die Entwicklung der Infinitesimalrechnung wichtige Arbeiten erschienen sind. Daneben spielt im 17. Jahrhundert die vom einzelnen Autor verfaßte, unter seinen Freunden in Abschriften zirkulierende, gelegentlich bei einer wissenschaftlichen Akademie zur Wahrung von Prioritätsansprüchen hinterlegte und oft gar nicht oder erst Jahre, manchmal Jahrhunderte später gedruckte Abhandlung eine wichtige Rolle.
Wolfgang Walter

§ 8. Komplexe Zahlen und Funktionen

Zusammenfassung
Die komplexen Zahlen haben in ihrer historischen Entwicklung mit den negativen und den irrationalen Zahlen vieles gemeinsam. Die Mathematiker begannen nicht damit, diese neue Art von Zahlen zu definieren, sie rechneten mit ihnen! Ihre exakte Fundierung steht nicht am Anfang, sondern am Ende einer Entwicklung. Bei den irrationalen Zahlen liegen zwischen dem ersten Auftreten in der pythagoräischen Schule und den Theorien von Cantor und Dedekind mehr als zwei Jahrtausende, bei den komplexen Zahlen sind Entdeckung und Begründung durch drei Jahrhunderte getrennt. Und noch etwas wird an den komplexen Zahlen deutlich: Neue Begriffe fallen nicht vom Himmel, sie ergeben sich bei der Lösung anstehender Probleme mit einer gewissen Zwangsläufigkeit, und sie setzen sich durch, wenn sie zu etwas nütze sind (ob letzteres auch heute noch gilt, mag unentschieden bleiben).
Wolfgang Walter

Differential- und Integralrechnung

§ 9. Das Riemannsche Integral

Zusammenfassung
Länge, Fläche und Volumen, die klassischen Aufgaben der Integrationstheorie, gehören zu den ältesten und fruchtbarsten mathematischen Themen. Sie waren für die Babylonier der Anlaß, sich mit quadratischen Gleichungen zu beschäftigen und Quadratwurzeln zu berechnen. Beim Längenvergleich entdeckten die Griechen irrationale (inkommensurable) Größen. Fragen der Rektifikation, Quadratur und Kubatur (Längen-, Flächen- und Volumenbestimmung) führten mit Notwendigkeit zu infinitesimalen Betrachtungen. Daraus entwickelten die Griechen den Limesbegriff im geometrischen Gewand, wie ihn Eudoxos in aller Strenge formuliert hat. Schließlich hat im 17. Jahrhundert vor allem anderen das Quadraturproblem die Entwicklung der Differential- und Integralrechnung angeregt.
Wolfgang Walter

§ 10. Differentiation

Zusammenfassung
Die Analysis des 17. Jahrhunderts wird beherrscht von zwei großen, zunächst getrennten Themen. Das eine, die Integralrechnung in ihren verschiedenen geometrischen Einkleidungen, wurzelt in der Antike. Es ist Mathematik der Renaissance in des Wortes ursprünglicher Bedeutung, Wiederbelebung und Fortentwicklung der großen griechischen Tradition. Die Ideen des zweiten Themas, der Differentialrechnung, haben kaum klassische Vorbilder, sie wurden in diesem Jahrhundert geboren. Die Zusammenführung dieser beiden Gedankenströme durch Newton und Leibniz gehört zu den bedeutendsten Leistungen des menschlichen Geistes und ist aufs engste verbunden mit dem Aufstieg der modernen Naturwissenschaft.
Wolfgang Walter

§ 11. Anwendungen

Zusammenfassung
Der Hauptsatz, das Fundament der Infinitesimalrechnung, hat eine theoretische und eine praktische Seite. Zur ersteren gehört, daß man aus den Differentialen von Größen (heute sagt man, aus der Ableitung) diese Größen darstellen kann. Darauf beruht letztendlich unsere exakte Naturwissenschaft, welche die Naturgesetze als Beziehungen zwischen Differentialen, als Differentialgleichungen, formuliert. Zur praktischen Seite gehört, daß uns ein wirkungsvolles Hilfsmittel zur Lösung mannigfacher Quadraturprobleme an die Hand gegeben wird. Bereits der 23jährige Newton hat beide Aspekte klar erkannt. In seinem „October 1666 tract” findet man Dutzende von vollzogenen Quadraturen und Methoden zur Lösung solcher Aufgaben. Wir wenden uns zunächst diesem algorithmischen Teil zu, der „Technik des Integrierens”. Es folgen dann Anwendungen über Flächen, Volumina, Schwerpunkte, In einem zweiten Teil wird die Differentialrechnung herangezogen, um das Änderungsverhalten von Funktionen und Kurven zu studieren. Die wichtigsten Stichworte sind Monotonie, Maxima und Minima, Konvexität, Kurvendiskussion (11.15–11.20). Als Anwendung werden sodann eine Reihe von klassischen Ungleichungen (11.21–11.25) behandelt. Das Kontraktionsprinzip und seine Anwendung im Newton-Verfahren beschließt den Paragraphen.
Wolfgang Walter

§ 12. Ergänzungen

Zusammenfassung
Die einzelnen Gegenstände dieses Paragraphen hängen nur lose miteinander zusammen und sind nicht aus einer kontinuierlichen Entwicklung entstanden. Es ist deshalb zweckmäßig, die historischen Anmerkungen bei den einzelnen Abschnitten zu geben.
Wolfgang Walter

Backmatter

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