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Chapter 3 Geodesics

  • 2017
  • OriginalPaper
  • Buchkapitel
Erschienen in:
Verfasst von
Loring W. Tu
Erschienen in
Differential Geometry
Verlag
Springer International Publishing

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Abstract

A geodesic on a Riemannian manifold is the analogue of a line in Euclidean space. One can characterize a line in Euclidean space in several equivalent ways, among which are the following:
(1)
A line is “straight” in the sense that it has a parametrization with a constant velocity vector field.
 
(2)
A line connecting two points gives the shortest distance between the two points.
 
These two properties are not necessarily equivalent on a Riemannian manifold. We define a geodesic by generalizing the notion of “straightness.” For this, it is not necessary to have a metric, but only a connection. On a Riemannian manifold, of course, there is always the unique Riemannian connection, and so one can speak of geodesics on a Riemannian manifold.

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Titel
Chapter 3 Geodesics
Verfasst von
Loring W. Tu
Copyright-Jahr
2017
Buch
Differential Geometry

Print ISBN: 978-3-319-55082-4

Electronic ISBN: 978-3-319-55084-8

Copyright-Jahr: 2017

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-55084-8_3
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