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Erschienen in:
2021 | OriginalPaper | Buchkapitel
27. Die Galoiskorrespondenz
verfasst von : Christian Karpfinger, Kurt Meyberg
Erschienen in: Algebra
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Die genaue Kenntnis der Zwischenkörper einer gegebenen Körpererweiterung L/K ist von entscheidender Bedeutung. Sind L und K endliche Körper, so haben wir dieses Problem in Kap. 26 erledigt. Im vorliegenden Kapitel untersuchen wir den Fall einer sogenannten Galoiserweiterung. Wir werden zeigen, dass im Falle einer endlichen Galoiserweiterung L/K, d. h., die Körpererweiterung L/K ist endlich, normal und separabel, der Zwischenkörperverband von L/K vollständig angegeben werden kann. Dabei wird das Problem des Auffindens aller Zwischenkörper reduziert auf das zum Teil erheblich leichtere Aufsuchen aller Untergruppen der sogenannten Galoisgruppe \(\Gamma (L/K)\) der Erweiterung L/K. Dieses Zusammenspiel von Körpertheorie und Gruppentheorie ist das Charakteristische der Galoistheorie. Die Theorie hat Anwendungen für die Auflösung algebraischer Gleichungen und liefert Antworten auf Konstruierbarkeitsfragen. Auch die algebraische Abgeschlossenheit von \({\mathbb C}\) kann mit ihrer Hilfe begründet werden. Ausführliche Beispiele bringen wir im nächsten Kapitel.