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Erschienen in:
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2019 | OriginalPaper | Buchkapitel

1. Einführung in die Matrizenrechnung

verfasst von : Michael Riemer, Wolfgang Seemann, Jörg Wauer, Walter Wedig

Erschienen in: Mathematische Methoden der Technischen Mechanik

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Lernziele

Formulierung und Umgang mit linearen Gleichungen in kompakter Matrizenschreibweise sind für Ingenieure wichtiges Basiswissen. Der Nutzer soll deshalb im Rahmen des vorliegenden Kapitels zum einen lernen, die Matrizenrechnung mit der zugrunde liegenden Matrizenalgebra zu verstehen. Andererseits soll er aber auch ausgewählte Matrizenmethoden, wie Übertragungsmatrizenverfahren oder Matrixverschiebungsmethode und schließlich die Grundlagen von Finite-Element-Methoden auf unterschiedliche Fragestellungen, wie sie Absolventen eines Ingenieur- oder Technomathematikstudiums aber auch praktisch arbeitenden Forschungs- und Entwicklungsingenieuren begegnen, anwenden können. Nach Durcharbeiten des vorliegenden Kapitels ist er mit diesem wesentlichen Werkzeug der Mathematik vertraut.

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Fußnoten
1
Die Weiterführung der Matrizenalgebra bis hin zur Verarbeitung von Matrizenfunktionen wird insbesondere in Abschn. 3.​2.​2 im Zusammenhang mit der Fundamentalmatrix als Matrizen–Exponentialfunktion besprochen.
 
2
Eine Verallgemeinerung auf komplexwertige Matrizen ist durchaus möglich (s. z. B. [10, 9]); sie geht aber über die Erfordernisse dieses Buches i. Allg. hinaus.
 
3
Andere Autoren verwenden eckige oder geschweifte Klammern.
 
4
Für die Darstellung einreihiger Matrizen ist es an sich belanglos, ob die Elemente als Spalte oder Zeile angeordnet werden; beide Formen sind gleichwertig. Auch die Schreibweise einer Zeilenmatrix wird gelegentlich benutzt.
 
5
Anstelle des hochgestellten Operatorsymbols T benutzt man häufig auch einen Strich, z. B. \(\bf A\)’, zur Kennzeichnung der Transposition.
 
6
Wenn nicht anders vermerkt, weisen fett gedruckte Kleinbuchstaben ohne Kennzeichen stets auf eine Spaltenmatrix hin; Zeilenmatrizen werden durch Transposition gekennzeichnet.
 
7
Diese wird oft auch mit \(\mathbf{E}\) oder mit \(\mathbf{U}\) bezeichnet.
 
8
Dabei können die beiden Spaltenmatrizen \(\mathbf{x}\) und \(\mathbf{y}\) auch von verschiedener Ordnung sein.
 
9
Die Bezeichnung von Spaltenmatrizen als Vektoren ist üblich, auch wenn diese Matrizen keinerlei Transformationseigenschaften wirklicher Vektoren aufweisen.
 
10
Zwei „Vektoren“ \(\mathbf{x}\) und \(\mathbf{y}\) werden zueinander senkrecht oder orthogonal genannt, wenn ihr Skalarprodukt (1.34) verschwindet.
 
11
Tragwerke mit abgewinkelten Stabachsen (Rahmen) lassen sich ebenfalls einbeziehen; oft wird die in Abschn. 1.2.2 behandelte Matrixverschiebungsmethode dafür jedoch vorgezogen.
 
12
Liegt ein Träger mit veränderlichem Querschnitt vor, so hat man vorab eine Diskretisierung in Felder mit stückweise konstantem Querschnitt derart vorzunehmen, dass eine ausreichend genaue Approximation der realen Verhältnisse erzielt wird.
 
13
Die im vorliegenden statischen Fall eingeführten Zustandsgrößen sind deshalb verschieden von jenen, die in Abschn. 3.​2 bei den Bewegungsgleichungen dynamischer Systeme eingeführt werden.
 
14
In der Kinetik treten bei der Eigenfrequenzberechnung mittels Restgrößenverfahren die Trägheitswirkungen an die Stelle der äußeren Lasten; damit entstehen (anders als hier) homogene Gleichungen.
 
15
Die hinter dieser Vorgehensweise stehende Theorie wird erst in Abschn. 3.​2 vollständig klar, wenn in allgemeiner Form auf die Lösung von Differenzialgleichungssystemen eingegangen wird.
 
16
Dies ist genau dann richtig, wenn die Drehträgheit der schwingenden Masse infolge der i. Allg. nicht verschwindenden Neigung \(\psi_{i}\) der Biegelinie vernachlässigt wird.
 
17
Nochmals sei auf die allgemeine Lösungstheorie für Systeme von Differentialgleichungen in Abschn. 3.​2 hingewiesen.
 
18
Da die schwingende Masse starr mit dem Balken verbunden ist, gilt natürlich an der Feldgrenze \(i\) nach wie vor \(\bar{w}_{i}^{L}(t)=\bar{w}_{i}^{R}(t)=\bar{w}_{i}(t)\), d. h. \(w_{i}^{L}=w_{i}^{R}=w_{i}\).
 
19
Ein Polynom erhält man nur dann, wenn die schwingenden Massen an den Feldgrenzen konzentriert werden. Ist die Gesamtmasse dagegen (gleichförmig) über die Felder verteilt, ergibt sich ein transzendenter Ausdruck in \(\omega\).
 
20
Moderne Verfahren schließen ein Versagen mit Methoden der Intervallarithmetik aus.
 
21
Dieses Prinzip wird in Abschn. 4.​2.​2 ausführlich erörtert; die im Rahmen der Matrixverschiebungsmethode erforderliche Betrachtung lässt sich jedoch auch unabhängig davon nachvollziehen.
 
22
Auch Befestigungspunkte von Einzelfedern oder Änderungen der Querschnittsdaten sind als Knotenpunkte aufzufassen.
 
23
Bei Dehnstabelementen ist diese Wahl belanglos; ist nichts Gegenteiliges vermerkt, wird im Folgenden stets das rechte Elementende betrachtet.
 
24
Es ist einleuchtend, dass man in der Umgebung stark gekrümmter Ränder und in Gebieten sehr unterschiedlicher Spannungen zum Erreichen einer bestimmten Genauigkeit feiner unterteilen muss als in den anderen Bereichen; aber das Problem, ob die Ergebnisse mit immer kleinerer Unterteilung gegen die tatsächliche Lösung konvergieren, ist nichttrivial und bis heute allgemein nicht gelöst.
 
Literatur
1.
Argyris, J.H., Mlejnek, H.R.: Die Methode der finiten Elemente in der elementaren Strukturmechanik, Bd. 1. Vieweg, Braunschweig (1986) MATH
2.
Bachmann, W., Haacke, R.: Matrizenrechnung für Ingenieure. Springer, Berlin/Heidelberg/New York (1982) CrossRef
3.
Bathe, K.-J.: Finite-Element-Methoden. Springer, Berlin/Heidelberg/New York (1986) CrossRef
4.
Bellmann, R.: Introduction to Matrix Analysis. McGraw-Hill, New York/Toronto/London (1960)
5.
Gasch, R., Knothe, K.: Strukturdynamik, Bd. 2. Springer, Berlin/Heidelberg/New York (1989) CrossRef
6.
Uhrig, R.: Elastostatik und Elastokinetik in Matrizenschreibweise. Springer, Berlin/Heidelberg/New York (1973) CrossRef
7.
Pestel, E., Lecki, F.A.: Matrix Methods in Elastomechanics. McGraw-Hill, New York (1963)
8.
Pestel, E., Wittenburg, J.: Technische Mechanik, Bd. 2, 2. Aufl. BI-Wiss.-Verlag, Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich (1992) MATH
9.
Zurmühl, R., Falk, S.: Matrizen und ihre Anwendungen, Teil 1, 6. Aufl. Springer, Berlin/Heidelberg/New York/Tokyo (1992) MATH
10.
Zurmühl, R., Falk, S.: Matrizen und ihre Anwendungen, Teil 2, 5. Aufl.. Springer, Berlin/Heidelberg/New York/Tokyo (1986) MATH
11.
Zienkiewicz, O.C.: Methode der finiten Elemente. Hauser, München (1975) MATH
Metadaten
Titel
Einführung in die Matrizenrechnung
verfasst von
Michael Riemer
Wolfgang Seemann
Jörg Wauer
Walter Wedig
Copyright-Jahr
2019
Buch
Mathematische Methoden der Technischen Mechanik

Print ISBN: 978-3-658-25612-8

Electronic ISBN: 978-3-658-25613-5

Copyright-Jahr: 2019

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-25613-5_1

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