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2020 | OriginalPaper | Buchkapitel

16. Endliche Moduln (§ 172.)

verfasst von : Katrin Scheel

Erschienen in: Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Zusammenfassung

Von diesen allgemeinen Sätzen über die Beziehungen zwischen beliebigen Moduln wenden wir uns jetzt zur Betrachtung der besonderen Erscheinungen, welche dann auftreten, wenn diese Moduln zum Theil oder alle endlich sind (§. 168). Da jeder endliche Modul entweder eingliedrig oder nach (nach (5) in §. 169) eine Summe von mehreren eingliedrigen Moduln ist, so gehen wir von dem folgenden Satze aus

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Fußnoten
1
Dies ist die Grundlage aller Zahlentheorie.
 
2
Offenbar ist dies selbst nur ein specieller Fall unseres Satzes.
 
3
Im entgegengesetzten Falle ist offenbar \(c=0=[0]\).
 
4
Vergl. das Beispiel in §. 159, S. 445 bis 447.
 
5
Die Kenntniss desselben ist unerlässlich für Diejenigen, welche bestimmte Beispiele in der Theorie der Moduln und Ideale zu berechnen haben. Vergl. §. 176.
 
6
Das oben beschriebene Verfahren liefert durch Zusammensetzung aller Transformationen (23) und deren Umkehrung immer ein solches System von Coefficienten p, q; die allgemeinste Lösung der Aufgabe, alle solchen Systeme zu finden, besteht in der Verallgemeinerung einer Methode, welche von Gauss in einigen besonderen Fällen angewendet ist (D.A. artt. 234, 236, 279). Der Fall \(n=1\) ist oben schon in den Gleichungen (4) bis (7) behandelt.
 
7
Wenn unter den Elementen \(c_r^{(s)}\) der Determinante C sich auch gebrochene rationale Zahlen befinden, also \(\mathfrak {a}\) nicht theilbar durch \(\mathfrak {o}\) ist, so gilt der allgemeinere Satz \((\mathfrak {o},\mathfrak {a})=\pm (\mathfrak {a},\mathfrak {o})C\), und zwar ist der umgekehrte Werth von \((\mathfrak {a},\mathfrak {o})\) vollständig bestimmt als der grösste gemeinsame Theiler der Determinante C und aller ihrer Unterdeterminanten, zu denen auch die Zahl 1 als Determinante \(0^{\small {\text{ ten }}}\) Grades zu rechnen ist; dies ergiebt sich leicht aus den obigen Sätzen durch Betrachtung des Moduls \(\mathfrak {a}+\mathfrak {o}\). Ist endlich \(C=0\), so bilden die n Zahlen \(\mu _s\) ein reducibeles System, und die Gl. (31) bleibt gültig.
 
Metadaten
Titel
Endliche Moduln (§ 172.)
verfasst von
Katrin Scheel
Copyright-Jahr
2020
Buch
Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen

Print ISBN: 978-3-658-30927-5

Electronic ISBN: 978-3-658-30928-2

Copyright-Jahr: 2020

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-30928-2_16

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