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Erschienen in:
2020 | OriginalPaper | Buchkapitel
25. Idealclassen und deren Composition (§ 181.)
verfasst von : Katrin Scheel
Erschienen in: Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
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Zusammenfassung
Wir haben gesehen, dass jedes Ideal \(\mathfrak {a}\) durch Multiplication mit einem geeigneten Ideal \(\mathfrak {m}\) in ein Hauptideal \(\mathfrak {am}\) verwandelt werden kann (§. 177, IX), und wollen nun zwei Ideale \(\mathfrak {a}\), \(\mathfrak {a}'\) äquivalent nennen, wenn beide durch Multiplication mit einem und demselben Factor \(\mathfrak {m}\) in Hauptideale \(\mathfrak {am}=\mathfrak {o}\mu \), \(\mathfrak {a}'\mathfrak {m}=\mathfrak {o}\mu '\) übergehen; dann ist \(\mathfrak {a}\mu '=\mathfrak {a}'\mu \), und wenn man die (ganze oder gebrochene) Zahl \(\mu '\mu ^{-1}=\eta \) setzt, so wird \(\mathfrak {a}'=\mathfrak {a}\eta \). Umgekehrt, wenn es eine Zahl \(\eta \) giebt, welche dieser Bedingung genügt, so sind die Ideale \(\mathfrak {a}\), \(\mathfrak {a}'\) äquivalent, weil dann aus \(\mathfrak {am}=\mathfrak {o}\mu \) auch \(\mathfrak {a}'\mathfrak {m}=\mathfrak {o}\mu '\) folgt, wo \(\mu '=\mu \eta \) gewiss eine ganze Zahl ist. Zugleich ergiebt sich hieraus, dass jeder Factor \(\mathfrak {m}\), welcher das eine von zwei äquivalenten Idealen \(\mathfrak {a}\), \(\mathfrak {a}'\) in ein Hauptideal verwandelt, Gleiches auch für das andere Ideal leistet, und dass folglich je zwei Ideale \(\mathfrak {a}'\), \(\mathfrak {a}''\), die mit einem dritten Ideal \(\mathfrak {a}\) äquivalent sind, stets auch mit einander äquivalent sein müssen.