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2020 | OriginalPaper | Buchkapitel

26. Zerlegbare Formen und deren Composition (§ 182.)

verfasst von : Katrin Scheel

Erschienen in: Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Zusammenfassung

Die Theorie der Ideale eines Körpers \(\varOmega \) hängt unmittelbar zusammen mit der Theorie der zerlegbaren Formen, welche demselben Körper entsprechen; wir beschränken uns hier darauf diesen Zusammenhang in seinen Grundzügen anzudeuten.

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Fußnoten
1
Solche Formen sind zuerst von Lagrange betrachtet in der Abhandlung: Sur la solution des Problèmes ind’eterminés du second degré. §. VI. Mém. de l’Ac. de Berlin. T. XXIII, 1769. (OEuvres de L. T. II. 1868, p. 375.) – Additions aux Élémens d’Algèbre par L. Euler. §. IX.
 
2
Hermite: Sur la théorie des formes quadratiques (Crelle’s Journal, Bd. 47, S. 331). - Die Discriminante der binären quadratischen Form \(ax^2+bxy+cy^2\) ist \(=b^2-4ac\).
 
3
Vergl. Gauss: D. A. art. 42 und meine Abhandlung: Ueber einen arithmetischen Satz von Gauss (Mittheilungen d. Deutschen math. Ges. in Prag. 1892).
 
4
Wir bezeichnen in der Folge mit \(\iota \), \(\iota '\), \(\iota ''\ldots \) ausschliesslich Summationsbuchstaben, welche die n Werthe 1, \(2\ldots n\) durchlaufen sollen, und ein einfaches Summationszeichen \(\sum \) bezieht sich stets auf alle solche, hinter demselben auftretende \(\iota \), \(\iota '\), \(\iota ''\ldots \), während r, \(s\ldots \) constante Indices bedeuten.
 
5
Man braucht nur n beliebige, aber von einander unabhängige Zahlen \(\alpha '_{\iota }\) zu wählen und den Modul, dessen Basis aus den \(n^2\) Summen
$$\begin{aligned} \varepsilon _m^{(s)}=\sum p_m^{\iota ,s}\alpha _{\iota }' \end{aligned}$$
besteht, auf eine irreducibele, also aus n Zahlen
$$\begin{aligned} \varepsilon _r=\sum e_{\iota ,r}\alpha '_{\iota } \end{aligned}$$
bestehende Basis zu reduciren, so wird
$$\begin{aligned} \varepsilon _m^{(s)}=\sum h_m^{\iota ,s}\varepsilon _{\iota }, \end{aligned}$$
und hieraus ergeben sich die obigen Beziehungen. - Bedeuten \(\mathfrak {a}\), \(\mathfrak {b}\) beliebige Moduln von der Form (8) in §. 175, und wählt man für die n Zahlen \(\alpha '_{\iota }\) die zu \(\alpha _{\iota }\) complementären Zahlen (§. 167 und §. 175 Anm.), so wird \(\varepsilon _m^{(s)}=\beta _s\gamma _m'\), wo die Zahlen \(\gamma _{\iota }'\) complementär zu \(\gamma _{\iota }\) sind, und hieraus ergiebt sich (nach §. 172), dass der grösste gemeinsame Theiler \(e=(\mathfrak {a}',\mathfrak {bc}')\) ist, wo \(\mathfrak {a}'\), \(\mathfrak {b}'\), \(\mathfrak {c}'\) die zu \(\mathfrak {a}\), \(\mathfrak {b}\), \(\mathfrak {c}\) complementären Moduln bedeuten; sind aber \(\mathfrak {a}\), \(\mathfrak {b}\) (also auch \(\mathfrak {c}\)) Idealbrüche (Anm. zu §§. 178, 180), so gilt dasselbe von \(\mathfrak {a}'\), \(\mathfrak {b}'\), \(\mathfrak {c}'\), und aus §. 170, VII folgt leicht, dass in diesem Falle \(\mathfrak {a}'=\mathfrak {bc}'\), also \(e=1\) ist.
 
6
Dieses Ideal \(\mathfrak {a}'\) und seine Basiszahlen \(\alpha '_{\iota }\) dürfen natürlich nicht verwechselt werden mit dem in der vorigen Anmerkung erwähnten Complement von \(\mathfrak {a}\) und mit den zu \(\alpha _{\iota }\) complementären Zahlen.
 
7
Vergl. meine auf S. 570 und 580 citirten Schriften, wo das Wort Index in einer specielleren Bedeutung gebraucht ist.
 
Metadaten
Titel
Zerlegbare Formen und deren Composition (§ 182.)
verfasst von
Katrin Scheel
Copyright-Jahr
2020
Buch
Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen

Print ISBN: 978-3-658-30927-5

Electronic ISBN: 978-3-658-30928-2

Copyright-Jahr: 2020

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-30928-2_26

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