Skip to main content
Fachgebiete
Automobil + Motoren Bauwesen + Immobilien Business IT + Informatik Elektrotechnik + Elektronik Energie + Nachhaltigkeit Finance + Banking Management + Führung Marketing + Vertrieb Maschinenbau + Werkstoffe Versicherung + Risiko
DE
EN
Bücher
Zeitschriften
Themenseiten
Organisationspsychologie Projektmanagement Marketing Smart Manufacturing
Weitere Formate
Podcasts Webinare Technik Webinare Wirtschaft Kongresse Veranstaltungskalender Awards
Jetzt Einzelzugang starten
Zugang für Unternehmen
Referenzkunden
SLX-Digitalkonferenz: Zukunftswerkstatt 2024

Mehr Umsatz mit Top-Kontakten

Am 7. Mai erfahren Sie, wie Vertriebsteams Leadgenerierung, Leadnurturing und Leadstrategien effizient steuern können.
Erweiterte Suche
Anmelden
nach oben
Erschienen in:
Simple Proofs of Some Bernstein–Mordell Type Inequalities Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

2014 | OriginalPaper | Buchkapitel

Integer Points in Large Bodies

verfasst von : Werner Georg Nowak

Erschienen in: Topics in Mathematical Analysis and Applications

Verlag: Springer International Publishing

Einloggen

Aktivieren Sie unsere intelligente Suche, um passende Fachinhalte oder Patente zu finden.

search-config
loading …

Abstract

For a compact body \(\mathcal{B}\) in three-dimensional Euclidean space with sufficiently smooth boundary, the number \(N(\mathcal{B};t)\) of points with integer coordinates in a linearly enlarged copy \(t\mathcal{B}\) is approximated in first order by the volume \(\mathrm{vol}(\mathcal{B})t^{3}\). This article provides a survey on the state of art of research on the lattice discrepancy \(D(\mathcal{B};t) = N(\mathcal{B};t) -\mathrm{vol}(\mathcal{B})t^{3}\), starting from the classic theory and emphasizing recent developments and advances.

Sie haben noch keine Lizenz? Dann Informieren Sie sich jetzt über unsere Produkte:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft+Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

  • über 102.000 Bücher
  • über 537 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

  • Automobil + Motoren
  • Bauwesen + Immobilien
  • Business IT + Informatik
  • Elektrotechnik + Elektronik
  • Energie + Nachhaltigkeit
  • Finance + Banking
  • Management + Führung
  • Marketing + Vertrieb
  • Maschinenbau + Werkstoffe
  • Versicherung + Risiko

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Springer Professional "Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

  • über 67.000 Bücher
  • über 390 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

  • Automobil + Motoren
  • Bauwesen + Immobilien
  • Business IT + Informatik
  • Elektrotechnik + Elektronik
  • Energie + Nachhaltigkeit
  • Maschinenbau + Werkstoffe




 

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Springer Professional "Wirtschaft"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft" erhalten Sie Zugriff auf:

  • über 67.000 Bücher
  • über 340 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

  • Bauwesen + Immobilien
  • Business IT + Informatik
  • Finance + Banking
  • Management + Führung
  • Marketing + Vertrieb
  • Versicherung + Risiko




Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren
Vorheriges Kapitel On Some Integral Operators
Nächstes Kapitel On the Orderability Problem and the Interval Topology
Fußnoten
1
For the definitions of the order symbols O, Ω, ≪ , \(\asymp \), etc., see, e.g., Krätzel’s book [22].
 
2
A weaker version of the first asymptotics, with error term \(O(t^{3/2-1/286+\varepsilon })\), has been established by Popov [45].
 
3
This subsection describes quite recent research by the author which is in course of publication elsewhere [43].
 
4
Or not, if one has learned the right lesson from the example of the torus.
 
Literatur
1.
2.
Bentkus, V., Götze, F.: On the lattice point problem for ellipsoids. Acta Arith. 80 (1997), 101–125MathSciNetMATH
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Garcia, V., Nowak, W.G.: A mean-square bound concerning the lattice discrepancy of a torus in \(\mathbb{R}^{3}\). Acta Math. Hung. 128, 106–115 (2010)MathSciNetCrossRefMATH
10.
11.
12.
Haberland, K.: Über die Anzahl der Gitterpunkte in konvexen Gebieten. Preprint FSU Jena (1993, unpublished)
13.
Heath-Brown, D.R.: Lattice points in the sphere. In: Györy, K., et al. (eds.) Number Theory in Progress, vol. 2, pp. 883–892. de Gruyter, Berlin (1999)
14.
Hlawka, E.: Über Integrale auf konvexen Körpern I. Monatsh. Math. 54, 1–36 (1950); Über Integrale auf konvexen Körpern II, 54, 81–99 (1950)MathSciNet
15.
Huxley, M.N.: Area, lattice points, and exponential sums. In: London Mathematical Society Monographs, New Series, vol. 13. Oxford University Press, Oxford (1996)
16.
17.
Iosevich, A., Sawyer, E., Seeger, A.: Mean square discrepancy bounds for the number of lattice points in large convex bodies. J. Anal. Math. 87, 209–230 (2002)MathSciNetCrossRefMATH
18.
Ivić, A.: The Laplace transform of the square in the circle and divisor problems. Stud. Sci. Math. Hung. 32, 181–205 (1996)MATH
19.
Ivić, A., Krätzel, E., Kühleitner, M., Nowak, W.G.: Lattice points in large regions and related arithmetic functions: recent developments in a very classic topic. In: Schwarz, W., Steuding, J. (eds.) Proceedings Conference on Elementary and Analytic Number Theory ELAZ’04, pp. 89–128. Franz Steiner Verlag, Mainz, 24–28 May 2006
20.
Iwaniec, H., Kowalski, E.: Analytic Number Theory, vol. 53. Colloquim Publication/American Mathematical Society, Providence (2004)MATH
21.
Jarnik, V.: Über die Mittelwertsätze der Gitterpunktlehre. V. Abh. Cas. mat. fys. 69, 148–174 (1940)MathSciNet
22.
Krätzel, E.: Lattice Points. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (1988)MATH
23.
24.
25.
Krätzel, E.: Lattice points in three-dimensional convex bodies with points of Gaussian curvature zero at the boundary. Monatsh. Math. 137, 197–211 (2002)MathSciNetCrossRefMATH
26.
Krätzel, E.: Lattice points in some special three-dimensional convex bodies with points of Gaussian curvature zero at the boundary. Comment. Math. Univ. Carol. 43, 755–771 (2002)MATH
27.
28.
Krätzel, E., Nowak, W.G.: Lattice points in large convex bodies II. Acta Arith. 62, 285–295 (1992)MathSciNetMATH
29.
Krätzel, E., Nowak, W.G.: Eine explizite Abschätzung für die Gitterdiskrepanz von Rotationsellipsoiden. Monatsh. Math. 152, 45–61 (2007)MathSciNetCrossRefMATH
30.
Krätzel, E., Nowak, W.G.: The lattice discrepancy of bodies bounded by a rotating Lamé’s curve. Monatsh. Math. 154, 145–156 (2008)MathSciNetCrossRefMATH
31.
32.
Kühleitner, M., Nowak, W.G.: The lattice point discrepancy of a body of revolution: improving the lower bound by Soundararajan’s method. Arch. Math. (Basel) 83, 208–216 (2004)
33.
Lau, Y.-K.: On the mean square formula of the error term for a class of arithmetical functions. Monatsh. Math. 128, 111–129 (1999)MathSciNetCrossRefMATH
34.
Müller, W.: On the asymptotic behavior of the ideal counting function in quadratic number fields. Monatsh. Math. 108, 301–323 (1989)MathSciNetCrossRefMATH
35.
36.
Müller, W., Nowak, W.G.: Lattice points in planar domains: applications of Huxley’s “Discrete Hardy-Littlewood-Method ”. In: Hlawka, E., Tichy, R.F. (eds.) Number Theoretic Analysis, Vienna 1988–89. Springer Lecture Notes, vol. 1452, pp. 139–164. (1990)
37.
Nowak, W.G.: On the lattice rest of a convex body in \(\mathbb{R}^{s}\), II. Arch. Math. 47, 232–237 (1986)CrossRefMATH
38.
Nowak, W.G.: A mean-square bound for the lattice discrepancy of bodies of rotation with flat points on the boundary. Acta Arith. 127, 285–299 (2007)MathSciNetCrossRefMATH
39.
Nowak, W.G.: On the lattice discrepancy of bodies of rotation with boundary points of curvature zero. Arch. Math. (Basel) 90, 181–192 (2008)
40.
Nowak, W.G.: The lattice point discrepancy of a torus in \(\mathbb{R}^{3}\). Acta Math. Hung. 120, 179–192 (2008)CrossRefMATH
41.
Nowak, W.G.: On the lattice discrepancy of ellipsoids of rotation. Uniform Distrib. Theory 4, 101–114 (2009)MATH
42.
Nowak, W.G.: Higher order derivative tests for exponential sums incorporating the discrete Hardy-Littlewood method. Acta Math. Hung. 134, 12–28 (2012)CrossRefMATH
43.
Nowak, W.G.: Lattice points in bodies of rotation with a dent (submitted for publication)
44.
45.
Popov, D.A.: On the number of lattice points in three-dimensional bodies of revolution. Izv. Math. 64, 343–361 (2000) (translation from Izv. RAN Ser. Math. 64, 121–140)
46.
Soundararajan, K.: Omega results for the divisor and circle problems. Int. Math. Res. Not. 36, 1987–1998 (2003)MathSciNetCrossRef
47.
Szegö, G.: Beiträge zur Theorie der Laguerreschen Polynome, II, Zahlentheoretische Anwendungen. Math. Z. 25, 388–404 (1926)MATH
48.
Titchmarsh, E.C.: The Theory of the Riemann Zeta-Function, 2nd edn. (revised by Heath-Brown, D.R.) Oxford University Press, Oxford (1986)
49.
50.
Vinogradov, I.M.: On the number of integer points in a sphere (Russian). Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Math. 27, 957–968 (1963)MATH
Metadaten
Titel
Integer Points in Large Bodies
verfasst von
Werner Georg Nowak
Copyright-Jahr
2014
Buch
Topics in Mathematical Analysis and Applications

Print ISBN: 978-3-319-06553-3

Electronic ISBN: 978-3-319-06554-0

Copyright-Jahr: 2014

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-06554-0_26

Premium Partner

    Bildnachweise