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2022 | OriginalPaper | Buchkapitel

4. Klassifikation feldtheoretischer Probleme und Potentialansätze

verfasst von : Harald Klingbeil

Erschienen in: Grundlagen der elektromagnetischen Feldtheorie

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden zunächst Vereinfachungen der Maxwellgleichungen besprochen, die sich unter Annahme statischer bzw. stationärer Bedingungen ergeben. Dazu gehören die Elektrostatik, das stationäre Strömungsfeld sowie die Magnetostatik. Im Bereich der Elektrostatik werden zunächst einfache symmetrische Ladungsverteilungen behandelt und das Skalarpotential eingeführt. Anschließend werden Randwert- und Ganzraumprobleme für die Laplace- und Poissongleichung diskutiert, was auch Eindeutigkeitsfragen beinhaltet. Der Begriff der Fundamentallösung wird eingeführt. Nach der Elektrostatik wird auf das stationäre Strömungsfeld eingegangen, das der Berechnung ohmscher Widerstände zugrunde liegt. Im Themenkreis der Magnetostatik werden das Vektorpotential, das Skalarpotential und verschiedene Formen des Gesetzes von Biot-Savart behandelt. Im Bereich der Elektrodynamik werden grundlegende Größen zur Beschreibung von ungedämpften und gedämpften Wellen erläutert, und verschiedene Potentialansätze zur Lösung der Helmholtzgleichung werden diskutiert.

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Fußnoten
1
In den folgenden Abschnitten wird noch formell gezeigt, dass elektrostatische Probleme immer nur eine eindeutige Lösung besitzen können (vgl. Regel 4.1).
 
2
Aus der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen ist bekannt, dass eine solche Vorgehensweise zulässig ist, obwohl Differentialquotienten keine echten Quotienten sind.
 
3
Dies werden wir in Abschn. 4.1.13 ausführlicher begründen.
 
4
Wie wir in Abschn. 4.3.2 ausführen werden, kann es in der Magnetostatik nötig sein, Schnitte und Aussparungen zu definieren, damit im verbleibenden Gebiet \(\Omega \) ein Skalarpotential existiert. Wendet man Formel (4.18) auf dieses Skalarpotential an, so ist zu beachten, dass sie nicht für Umläufe gilt, die solche Schnitte bzw. Aussparungen kreuzen, weil \(C_0\) dann nicht mehr vollständig in \(\Omega \) liegt. An Schnitten kann das Skalarpotential unstetig sein, sodass es nur innerhalb von \(\Omega \) stetig differenzierbar ist.
 
5
Auf der Oberfläche von Leitern muss das Potential konstant sein, da sich andernfalls gemäß \(\vec {E}=-{\text {grad}}\,\Phi \) ein elektrisches Feld ausbilden würde, das zu einer Verschiebung der Ladungen führen würde. Diese Ladungsbewegung widerspricht aber der Annahme statischer Bedingungen. In der Elektrostatik müssen solche Ausgleichsvorgänge also bereits abgeschlossen sein, die Oberfläche der Elektrode ist eine Äquipotentialfläche; unabhängig davon, ob deren Leitfähigkeit endlich oder unendlich ist.
 
6
Dies werden wir in den Abschn. 4.1.7 bis 4.1.10 ausführlich diskutieren.
 
7
Im engeren Sinne ist mit dem Begriff „Freiraum“ oder „freier Raum“ natürlich die idealisierte Situation gemeint, dass im kompletten Raum \(\mathbb {R}^3\) Vakuum herrscht. Weil gleichlautende Formeln aber auch für \(\varepsilon \ne \varepsilon _0\) oder \(\mu \ne \mu _0\) gelten, dehnen wir diese Begriffe im vorliegenden Buch auf den komplett mit einem homogenen, isotropen, verlustfreien, sich linear verhaltenden Material gefüllten \(\mathbb {R}^3\) aus. 
 
8
Im strengen Sinne der Distributionentheorie handelt es sich hierbei um das direkte Produkt bzw. Tensorprodukt, sodass man ein spezielles Multiplikationssymbol zwischen die Faktoren setzen würde.
 
9
(4.33) ist eine Distributionentheorie-Erweiterung der im klassischen Sinne nur für \(\vec {r}\ne \vec {r}_{0}\) geltenden Gl. (A.21), die auch in Tab. B.8 zu finden ist.
 
10
Hierzu betrachtet man vom äußeren Gebiet V den Teil, der innerhalb einer Kugel mit dem Radius R liegt. Wählt man den Radius R hinreichend groß, dann kann man den Rand dieses neuen Gebietes in den Rand des Inneren \(\partial G_{i}\) sowie in den Rand der Kugel \(\partial K\) zerlegen. Das Integral auf der rechten Seite von (4.34) zerfällt dann in zwei Integrale über \(\partial G_{i}\) und \(\partial K\). Für das Integral über \(\partial G_{i}\) kann man über die Randbedingungen wie beim Innenraumproblem zeigen, dass es verschwindet. Beim Integral über \(\partial K\) kann man die Randbedingung
$$\begin{aligned} \Phi =\mathcal {O}(|\vec {r}|^{-1})\Rightarrow \frac{\partial \Phi }{\partial n}=\frac{\partial \Phi }{\partial r}=\mathcal {O}(|\vec {r}|^{-2}) \end{aligned}$$
im Unendlichen ausnutzen, sodass
$$\begin{aligned} \left| {}\int \limits _{\partial K}\Psi \frac{\partial \Psi }{\partial n}\,\textrm{d}A\right| \le \int \limits _{\partial K}|\Psi |\left| \frac{\partial \Psi }{\partial n}\right| \textrm{d}A\le \int \limits _{\partial K}\frac{C}{R^{3}}\textrm{d}A\le \frac{4\pi R^{2}C}{R^{3}} \end{aligned}$$
gilt. Das Integral über \(\partial K\) verschwindet also für \(R\rightarrow \infty \). Diese Beweisskizze zeigt somit, wie man die Eindeutigkeit der Lösung auch für Außenraumprobleme nachweist.
 
11
Doppelschichten schließen wir wieder aus.
 
12
Auch (4.41) für ortsabhängige Leitfähigkeiten hat die gleiche Form wie (4.12) für ortsabhängige Permittivitäten.
 
13
Dies ist ein Spezialfall von (3.​13) für \(\dot{\vec {D}}=0\).
 
14
s. dazu auch Anhang A.6.
 
15
Diese Festlegung der Divergenz des Vektorpotentials nach (4.50) bezeichnet man als Coulombeichung.
 
16
Alternativ kann man das betrachtete Gebiet auch durch andersartige geeignete Schnitte so wählen, dass keine geschlossene Kurve Aussparungen umschließen kann, die einen Nettostrom führen.
 
17
Nur auf dem Leiter ist \(\vec {J}(\vec {r}_{0})\) ungleich null, sodass auch nur über das vom Leiter eingenommene Volumen integriert werden muss.
 
18
s. dazu auch Anhang A.6.
 
19
Diese Festlegung der Divergenz des Vektorpotentials nach (4.86) bezeichnen die meisten Bücher als Lorentzeichung. In [22] wird darauf hingewiesen, dass diese Eichung nicht auf H. A. Lorentz, sondern auf L. V. Lorenz zurückgeht.
 
20
Dass es sich bei c tatsächlich um die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle handelt, wenn \(-1/c^{2}\) der Koeffizient von \(\ddot{\vec {A}}\) ist, wird in Abschn. 5.​14 bestätigt werden.
 
21
\(\vec {A}\) und \(A_{x}\) sind Phasoren bzw. komplexe Amplituden; auf den Unterstrich wird der Einfachheit wegen verzichtet.
 
22
Wenn auch Randbedingungen am Anfang und am Ende des Hohlleiters, also auf dem gesamten Rand des betreffenden Gebietes, angegeben werden, lässt sich natürlich auch in der Elektrodynamik eine eindeutige Lösung erzwingen.
 
23
Streng genommen sind in (4.99) bei einer reellen Wahl der Konstanten \(a_z\) und \(b_z\) \(\textrm{TE}_{0n}\)-Wellen, die sich in positive z-Richtung ausbreiten, und \(\textrm{TE}_{0n}\)-Wellen, die sich in negative z-Richtung ausbreiten, überlagert, sodass (4.99) einer stehenden Welle mit äquidistanten Knotenebenen entspricht. Im Allgemeinen dürfen die Konstanten \(a_z\) und \(b_z\) aber komplex sein.
 
24
Ist der Rechteckhohlleiter aus Abschn. 4.4.3 beispielsweise mit einem verlustbehafteten Dielektrikum gefüllt, so wird wegen der dann komplex anzusetzenden Permittivität \(\varepsilon \) auch \(k_z\) aus (4.99) komplex sein.
 
25
Nicht nur die Phasengeschwindigkeit, sondern auch die Gruppengeschwindigkeit
$$\begin{aligned} v_{\textrm{g}}=\frac{\textrm{d}\omega }{\textrm{d}\beta }=\left( \frac{\textrm{d}\beta }{\textrm{d}\omega }\right) ^{-1} \end{aligned}$$
wird als Ausbreitungsgeschwindigkeit oder Fortpflanzungsgeschwindigkeit bezeichnet. Oftmals, aber nicht immer, kann sie als Signalübertragungsgeschwindigkeit gedeutet werden. Damit dies sichergestellt ist, muss man geeignete Forderungen aufstellen, wie zum Beispiel das Vorliegen normaler Dispersion (das heißt, die Gruppengeschwindigkeit \(v_{\textrm{g}}\) ist kleiner als die Phasengeschwindigkeit \(v_{\textrm{p}}\)), schmalbandige Signale, geringe Dispersion, nur langsam zerfließende Signale, verlustarme Ausbreitungsmedien, hinreichende Linearität von \(\beta (\omega )\) im betrachteten Frequenzbereich, etc.
 
26
Das beschriebene zyklische Vertauschen von Koordinaten führt dazu, dass das rechtshändige kartesische Koordinatensystem in ein ebensolches überführt wird, für das dieselben physikalischen Gleichungen gelten müssen.
 
27
Das Entstehen von Ellipsen wird beispielsweise in [5], Kap. 10, ausführlicher behandelt.
 
Metadaten
Titel
Klassifikation feldtheoretischer Probleme und Potentialansätze
verfasst von
Harald Klingbeil
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Grundlagen der elektromagnetischen Feldtheorie

Print ISBN: 978-3-662-65125-4

Electronic ISBN: 978-3-662-65126-1

Copyright-Jahr: 2022

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-65126-1_4

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