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2023 | OriginalPaper | Buchkapitel

2. Lineare Algebra

verfasst von : Paul Wenk

Erschienen in: Mathematische Methoden anhand von Problemlösungen

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der linearen Algebra.

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Fußnoten
1
Von Einstein 1916 eingeführt [3].
 
2
Vor allem in der Relativitätstheorie.
 
3
Im Fall von Semilinearität muss man genau zwischen \((\alpha \textbf{x}) \cdot \textbf{y} = \alpha ^* \textbf{x} \cdot \textbf{y}\) und \(\alpha \textbf{x}\cdot \textbf{y} {\mathop {=}\limits ^{??}} \alpha (\textbf{x}\cdot \textbf{y})\) unterscheiden.
 
4
Das Skalarprodukt ist in diesem Fall eine Bilinearform.
 
5
Diese Definition ist in der Physik üblich und wird in diesem Buch verwendet. Es kann aber auch mit der Summe über \(x_m \overline{y}_m\) definiert werden.
 
6
Es gibt viele Möglichkeiten eine Norm auf einem Vektorraum zu definieren! \(\Vert {\textbf{x}}\Vert = \sqrt{\sum _{i} x_i^2}\) wird euklidische Norm genannt.
 
7
Es ist ein Spezialfall der Binet-Cauchy-Identität für drei Dimensionen.
 
8
Beachten Sie, dass \(P_N\) und \(Q_N\) Vektoren sind und „\(P_N\cdot Q_N\)“ nicht die Multiplikation in \(\mathbb {R}\) darstellt, sondern das Skalarprodukt.
 
9
\(U\subseteq V\) bildet genau dann einen Untervektorraum von V, wenn sie nichtleer und abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation ist.
 
10
Siehe CODATA 2018
 
11
Beachte im Folgenden: \(\sum _{i j\ldots k=1}^3 \equiv \sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3\ldots \sum _{k=1}^3\).
 
12
Folgt direkt aus der Entwicklung nach einer beliebigen Zeile oder Spalte.
 
13
Einsteinsche Summenkonvention
 
14
Oft abgekürzt mit OBdA.
 
15
Hier benutzen wir zur kompakten Schreibweise die Restklassendivision: Der Ausdruck \(a\ (\textrm{mod}\ b)\), \(b\in \mathbb {N}\backslash \{0\}\), \(a\in \mathbb {N}\) liefert die ganze Zahl \(r\in \{0,1,\ldots ,b-1\}\), den sogenannten Rest der Division a/b. Mit der ganzen Zahl c haben wir dabei \(a=b\cdot c + r\). Man kann auch schreiben: \(a\ (\textrm{mod}\ b) = a - \left\lfloor \frac{a}{b} \right\rfloor b\), wobei \(\lfloor x \rfloor :=\max \{ m\in \mathbb {Z} | m\le x \}\).
 
16
Salopp wird oft gesagt, dass der \(\mathbb {R}^n\) die Dimension n besitzt. Dabei ist zu beachten, dass damit stets \(\dim _{\mathbb {R}}\), also die Dimension über dem Körper \(\mathbb {R}\) gemeint ist.
 
17
Im Folgenden benutzen wir die \(\langle {.|.}\rangle \)(Bra-Ket)-Schreibweise. Da wir hier im \(\mathbb {R}^3\) rechnen, kann natürlich auch die \((.)\cdot (.)\)-Schreibweise benutzt werden.
 
18
\(x^2 + y^2 = r^2\), wobei r der Radius des Kreises ist.
 
19
Das sehen wir auch, wenn wir die Ersetzungen \(\text {sin}^2(x) = (1 - \text {cos}(2x))/2\) und \(\text {cos}^2(x) = (1 + \text {cos}(2x))/2\) vornehmen.
 
20
Wir identifizieren hier den Rotationsoperator R mit seiner Darstellung M(R)
 
21
Wir sehen, dass hier eine Nullzeile auftaucht, da die Determinante, die uns das charakteristische Polynom liefert, verschwinden muss.
 
22
Siehe dazu auch Aufg. 2.24
 
Literatur
1.
G. Fischer. Lineare Algebra. Springer Fachmedien Wiesbaden, 2013.
2.
W. Pauli. Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons. Zeitschrift für Physik, Bd. 43, 1927, S. 601ADSCrossRefMATH
3.
A. Einstein. Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. Annalen der Physik, Bd. 354, 1927, S. 769ADSCrossRefMATH
4.
Michael A. Nielsen und Isaac L. Chuang Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, 2010.
Metadaten
Titel
Lineare Algebra
verfasst von
Paul Wenk
Copyright-Jahr
2023
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Mathematische Methoden anhand von Problemlösungen

Print ISBN: 978-3-662-66425-4

Electronic ISBN: 978-3-662-66426-1

Copyright-Jahr: 2023

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-66426-1_2

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