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2022 | OriginalPaper | Buchkapitel

7. Allgemeine Relativitätstheorie

verfasst von : Lukas Scharfe

Erschienen in: Geometrie der Allgemeinen Relativitätstheorie

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Zusammenfassung

Nach einem Ausflug in die Riemann’sche Geometrie widmen wir uns in diesem Kapitel der ART sowie den Einstein’schen Feldgleichungen, die Einstein nach fast zehnjähriger harter Arbeit entwickelt hatte. Wir untersuchen die Struktur der neu gefundenen Feldgleichungen und werden sie für den einfachen Fall einer kugelsymmetrischen Masseverteilung lösen. Im letzten Abschnitt diskutieren wir Effekte der ART, durch welche die Theorie noch zu Einsteins Lebzeiten experimentell bestätigt werden konnte.

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Vorheriges Kapitel Differentialgeometrie: Krümmung und Geodäten
Nächstes Kapitel Fazit und Ausblick
Fußnoten
1
Das Zitat ist [Str88, S. 83] entnommen.
 
2
Siehe [Ein16a, S. 776].
 
3
Zur besseren Übersicht werden die Argumente (x) im Folgenden weggelassen.
 
4
Eine anschauliche Deutung der übrigen Koeffizienten des Energie-Impuls-Tensors ist in [Göb16, S. 125 f] zu finden.
 
5
Alternativ können wir auch über den ganzen Raum integrieren. Hier argumentiert man dann, dass der Ausdruck \(\rho c^2 \boldsymbol{v}\) für große Abstände hinreichend schnell gegen null geht, damit das Oberflächenintegral verschwindet.
 
6
Nach [Car14, S. 151 f] stellt dies ein legitimes Vorgehen bei der Verallgemeinerung physikalischer Gesetze der SRT in die ART dar.
 
7
In [Sch02, S. 82–87] wird der Energie-Impuls-Tensor einer idealen Flüssigkeit behandelt und Scheck [Sch17, S. 173] führt das Maxwell’sche Tensorfeld als Beispiel an.
 
8
Siehe [Mis08, S. 5].
 
9
Die Aufzählung ist angelehnt an [Sch02, S. 91] und [Fli16, S. 117].
 
10
Die Begründung ist angelehnt an [Wei72, S. 78].
 
11
Die Bedingung ist nicht kovariant, da es sich um keine Tensorgleichung handelt (die Christoffel-Symbole sind keine Tensoren). Für weitere Informationen sei an [Reb12, S. 272] verwiesen.
 
12
Siehe [Ein17, S. 151].
 
13
Siehe [Ein17, S. 151].
 
14
Zitiert nach Fußnote 5 in [Sch02, S. 99].
 
15
Karl Schwarzschild (1873–1916) war deutscher Astronom und Physiker.
 
16
Die Christoffel-Symbole sind in Anhang A.3 ausführlich berechnet.
 
17
Die übrigen Diagonaleinträge des Ricci-Tensors sind in Anhang A.3 ausführlich berechnet.
 
18
Die Lösung ist nur eindeutig, wenn zusätzlich die kosmologische Konstante verschwindet.
 
19
Birkhoff (1884–1944) war ein amerikanischer Mathematiker.
 
20
Siehe [Reb12, S. 297].
 
21
Siehe [Goe96, S. 284]. Durch eine Koordinatentransformation lässt sich die Schwarzschild-Metrik auf Radien \(r < r_S\) fortsetzen.
 
22
Eine echte Singularität wird auch Krümmungssingularität genannt. An diesem Punkt divergiert die Krümmung.
 
23
Benannt nach dem deutschen Physiker Erich Kretschmann (1887–1973).
 
24
Siehe [Reb12, S. 298].
 
25
Die folgende Argumentation orientiert sich an [Bob16, S. 224 ff].
 
26
Entnommen aus [Str88, S. 194].
 
27
Siehe [Ryd09, S. 154].
 
28
An dieser Stelle ist ein kurzer Kommentar über die Bedeutung der Lichtgeschwindigkeit c angebracht. Es lässt sich zeigen, dass die Lichtgeschwindigkeit im Gravitationsfeld aus der Sicht eines weit entfernten Beobachters einen geringeren Wert als c annimmt. Siehe hierzu z. B. [Bob16, S. 250]. Ein Lichtstrahl erfährt aus diesem Grund eine Laufzeitverzögerung beim Durchqueren des Gravitationsfelds (siehe [Bob16, S. 252 f.]). Es ist jedoch wichtig zu präzisieren, dass man sich bei dieser Aussage auf eine globale Messung der Laufzeit des Lichts bezieht. Daher stellt diese Erkenntnis keinen Widerspruch zur postulierten Konstanz der Lichtgeschwindigkeit dar, denn lokal misst jeder Beobachter in seinem Lokalen IS den Wert c.
 
29
Benannt nach dem deutschen Physiker Rudolf Mößbauer (1929–2011).
 
30
Der experimentelle Wert ist Ryder [Ryd09, S. 157] entnommen. Zu beachten ist, dass dort die Frequenzverschiebung mit einem positiven Vorzeichen notiert ist, weil Ryder im Gravitationsfeld der Erde fallende Gammaquanten betrachtet werden. Es kommt dann zu dem umgekehrten Effekt der Blauverschiebung.
 
31
Satelliten kreisen in Ellipsen um die Erde. Der Abstand \(r_{\text {Sat}}\) entspricht dem Wert der großen Halbachse der Satellitenbahn und ist [Heć13, S. 201] entnommen.
 
32
Der Wert ist [Heć13, S. 201] entnommen.
 
33
Das berechnete Ergebnis stimmt mit der Angabe in [Heć13, S. 200] überein.
 
34
Siehe [Ein08, S. 458 f].
 
35
Wegen der Kugelsymmetrie lässt sich das Ergebnis der nachfolgenden Rechnungen auch auf Bahnen in anderen Ebenen, die den räumlichen Ursprung enthalten, verallgemeinern.
 
36
Das nicht-relativistische Analogon dieser Rechnungen stellt das Kepler-Problem dar. Im Abschnitt 7.5.3 Periheldrehung kommen wir auf dieses nochmals zurück.
 
37
In [Sch07, S. 13 ff] wird die Bewegungsgleichung über die Energie- und Drehimpulserhaltung hergeleitet und deren Lösung ausführlich behandelt. Eine andere Herleitung der Differentialgleichung (7.120) über die Euler-Lagrange-Gleichung ist in [Sch02, S. 113 f] zu finden.
 
38
Zu beachten ist allerdings, dass Schröder in [Sch02, S. 118] andere Bezeichnungen für die Konstanten wählt.
 
39
Siehe [Wil18, S. 166].
 
40
Siehe [Ein13, S. 85].
 
41
Siehe [Ein11].
 
42
Siehe [Ein11, S. 908].
 
43
Eddington (1882–1944) war ein britischer Astrophysiker.
 
44
Siehe [Edd20, S. 331].
 
45
Quasare (aus dem englischen quasi-stellar radio source abgeleitet) sind supermassereiche schwarze Löcher im Zentrum einer Galaxie, die große Mengen an Energie ausstrahlen.
 
46
Siehe [Wil18, S. 162 f].
 
47
Die nachfolgende Rechnung orientiert sich an Ryder [Ryd09]. Scheck [Sch17] und Straumann [Str88] führen bei ihren Berechnungen für den ruhenden Beobachter eine Hilfsvariable ein, die ohne Begründung angegeben wird. Dieser Weg erscheint mir weniger intuitiv als der folgende.
 
48
Für die Erstellung des Diagramms wurde eine geschlossene Lösung des Integrals in Gl. (7.165) verwendet. Diese ist dem Anhang A.4 zu entnehmen.
 
49
Dieses Phänomen bezeichneten die Physiker Zel’dovich und Novikov (1996) als „gefrorene Sterne“.
 
Metadaten
Titel
Allgemeine Relativitätstheorie
verfasst von
Lukas Scharfe
Copyright-Jahr
2022
Buch
Geometrie der Allgemeinen Relativitätstheorie

Print ISBN: 978-3-658-40360-7

Electronic ISBN: 978-3-658-40361-4

Copyright-Jahr: 2022

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-40361-4_7

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