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Erschienen in:

2022 | OriginalPaper | Buchkapitel

5. Lösungsmethoden und Vertiefung der Grundlagen

verfasst von : Harald Klingbeil

Erschienen in: Grundlagen der elektromagnetischen Feldtheorie

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden unterschiedliche analytische Methoden der elektromagnetischen Feldtheorie vorgestellt, die es gestatten, einfache praxisrelevante Anordnungen zu untersuchen und deren Eigenschaften zu berechnen. Zu den erläuterten Methoden gehören die Spiegelungsmethode, die Power-Loss-Methode zur näherungsweisen Berechnung von Leiterverlusten in Wellenleitern bei ausgeprägtem Skineffekt sowie die Methode der Green’schen Funktionen. Die Kirchhoff’sche Formel zur Lösung der Wellengleichung ist ebenfalls Bestandteil dieses Kapitels.

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Geht man von einem zunächst ungeladenen Kondensator aus, und führt man dann eine Ladungstrennung durch, indem man Elektronen von der einen Elektrode des Kondensators zur anderen transportiert, so ergibt sich diese Voraussetzung in natürlicher Weise.

Die sogenannte Lenz’sche Regel wird in diesem Zusammenhang oft falsch interpretiert. Sie besagt, dass die Induktion ihrer Ursache, nämlich dem Strom, entgegenwirkt. Deshalb könnte man auf die Idee kommen, in der Gleichung $U=L\frac{\textrm{d}I}{\textrm{d}t}$ ein Minuszeichen einzuführen. Wie Abb. 5.3 b aber in Verbindung mit der Rechnung zweifelsfrei zeigt, bezieht sich das Minuszeichen auf die Umlaufspannung, die der an der Induktivität anliegenden Spannung entgegengerichtet ist.

Die magnetische Energie berechnet man in der Theorie konzentrierter Bauelemente aus der Leistung gemäß

$$\begin{aligned} W_{\textrm{magn}}=\int P_{\textrm{magn}}\,\textrm{d}t=\int UI\,\textrm{d}t=L\int I\frac{\textrm{d}I}{\textrm{d}t}\,\textrm{d}t=L\frac{I^{2}}{2}. \end{aligned}$$

Den letzten Schritt kann man mithilfe einer partiellen Integration vollziehen.

Im Unendlichen sind streng genommen genauere Untersuchungen nötig, da nicht nur der Integrand gegen null strebt, sondern auch die Integrationsfläche unendlich groß wird (s. auch Aufgabe 5.1). Ist der felderfüllte Raum von einer magnetisch ideal leitenden Wand begrenzt, dann stellt dies kein Problem dar, da $\vec {E}=-{\text {grad}}\,\Phi $ dann tangential zur Wand verläuft und das Flächenintegral deshalb verschwindet (man beachte die Verallgemeinerung magnetisch ideal leitender Wände aus Abschn. 5.1.2).

Hier greift wieder dieselbe Argumentation wie schon in Fußnote 5 des Abschn. 4.1: Das Innere von Leitern ist feldfrei, das Potential an ihrer Oberfläche konstant.

Das erste Flächenintegral verschwindet auch bei Leitern endlicher Dicke, wenn die Normalkomponente des Magnetfeldes an deren Oberfläche gleich null ist (z. B. für ideale Leitfähigkeit). Dann steht $\vec {H}=-{\text {grad}}\,\Psi $ nämlich stets senkrecht zum Flächenvektor $\textrm{d}\vec {A}$. Auch in diesem Fall bleibt also die Herleitung gültig.

Diese Überlegung lässt sich verallgemeinern: Da das Feld der Originalanordnung an der Oberfläche eines leitenden Körpers identisch mit dem Feld der Ersatzanordnung sein muss, liefert der Gauß’sche Satz in beiden Fällen dieselbe umschlossene Ladung. Demnach ist die Summe aller innerhalb des Körpervolumens angebrachten Spiegelladungen gleich der im Originalkörper influenzierten Ladung.

Man kann die Anordnung wegen der Längshomogenität auch als eine zweidimensionale auffassen, sodass nur der Querschnitt zu betrachten ist, in dem der Zylinder als Kreis erscheint.

Schaut man nur auf die Differentialgleichungen, dann wäre auch für $H_\varphi $ die triviale Lösung $H_\varphi =0$ möglich gewesen, sodass man dann $\vec {H}_{\mathrm i} =\vec {H}_{\mathrm a} =0$ erhalten hätte. Diese in beiden Raumteilen gültige Lösung der Differentialgleichungen erfüllt dann aber nicht die Stetigkeitsbedingung zwischen den beiden Teilgebieten, sofern die Flächenstromdichte auf dem Ringkernmantel nicht auch gleich null ist.

Für die Berechnung des Magnetfelds in der idealisierten Anordnung spielte der konkrete Wert der Permeabilität offenbar keine prinzipielle Rolle. Dieser Wert hat aber einen großen Einfluss darauf, ob das Feld der ursprünglich betrachteten Ringkernspule näherungsweise dem berechneten Feld entspricht. Je kleiner die Permeabilität ist, desto gleichmäßiger und dichter muss man den Ringkern bewickeln, damit der Streufluss nicht signifikant wird und die Formeln noch brauchbare Ergebnisse liefern.

Selbst für eine relativ schlechte metallische Leitfähigkeit von $3\cdot 10^{7}\,\mathrm {S/m}$ und eine sehr hohe Frequenz von $100\,\textrm{GHz}$ (die Leitfähigkeit von Metallen entspricht bis in den Mikrowellenbereich hinein der im Gleichstromfall) erhält man $|{\text {Re}}\{\underline{\varepsilon }\}/{\text {Im}}\{\underline{\varepsilon }\}|\approx 2\cdot 10^{-7}$, sodass die Näherung hervorragend erfüllt ist.

Dies ist deshalb möglich, weil die Fläche unter einer Exponentialfunktion $f(z)=f(0)e^{-z/\delta }$ genauso groß ist wie die eines Rechtecks mit der Höhe f(0) und der Breite $\delta $:

$$\begin{aligned} \int \limits _{0}^{\infty }J\,\textrm{d}z=\int \limits _{0}^{\infty }J_{0}e^{-z/\delta }\,\textrm{d}z=J_{0}\delta \end{aligned}$$

Der insgesamt fließende Strom ist also derselbe; für kleine $\delta $ kann man die Integrale auch als Flächenstromdichte $J_{\textrm{F}}$ deuten.

Im Folgenden wird der Index t auch für die Tangentialkomponenten des Feldes benutzt. Die Gln. (5.67) müssen bei der Betrachtung längshomogener Wellenleiter in jedem transversalen Querschnitt des Wellenleiters gelten. Auf die Leitungsquerschnitte bezogen sind Transversalkomponenten nichts anderes als Tangentialkomponenten des später benutzten Randes $\partial V$, sodass keine Inkonsistenz bei der Benennung vorliegt.

Der Begriff wird in Anlehnung an die Eigenfunktionen in der Theorie gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen benutzt; die Eigenwellen sind quasi vektorielle Eigenfunktionen.

Treffender wäre der Begriff „Feldwellenimpedanz“, da die Permittivität oder die Permeabilität im Allgemeinen komplex sein können. Da dieser Begriff weniger verbreitet ist, verwenden wir trotzdem den Begriff „Feldwellenwiderstand“ auch für verlustbehaftete Medien.

Wie bereits in Abschn. 2.1 erwähnt wurde, liegt kein echtes inneres Produkt im mathematischen Sinne vor, weil dafür einer der Faktoren konjugiert komplex auftreten müsste. Wegen des Skalarprodukt-Punkts sprechen wir trotzdem oftmals vom Skalarprodukt.

Bei $\vec {E}_{p}$, $\vec {H}_{p}$ handele es sich nicht um normierte Eigenwellen (wie sie in Abschn. 5.11.7 diskutiert werden); diese Größen sollen bereits Koeffizienten beinhalten, sodass die jeweilige Summe eine beliebige Lösung für das Feld im Wellenleiter darstellt.

Die z-Abhängigkeit der Felder und die Longitudinalkomponenten kann man wieder hinzufügen, sodass man (5.98) erhält.

Wir setzen nach wie vor elektrisch ideal leitende Wände voraus, welche das Innere des Hohlleiters umschließen. Die Querschnittsfläche dieses Inneren sei endlich. Außerdem sei das Innere des Hohlleiters weiterhin homogen mit einem verlustfreien, isotropen Material gefüllt, das sich linear verhält.

Die Funktionalanalysis zeichnet sich durch einen hohen Grad an Abstraktion aus, wodurch sie leistungsfähig wird und auf viele unterschiedliche Fragestellungen angewandt werden kann. Deswegen erfordert sie aber auch ein erhebliches Maß an mathematischer Vorbildung.

Weil beim Rechteckhohlleiter sowohl für eine $\mathrm TE_{mn}$-Welle als auch für die $\mathrm TM_{mn}$-Welle mit denselben Werten m, n dieselbe Gl. (5.134) gilt, haben diese beiden Wellentypen denselben Eigenwert; es liegt Entartung vor. Doch auch die $\mathrm TE$-Wellentypen unter sich (und die $\mathrm TM$-Wellentypen unter sich) liefern entartete Eigenwellen, was für das in der Praxis oftmals benutzte Seitenverhältnis $a/b=2$ anhand von (5.134) besonders deutlich wird, weil der erste Term unter der Wurzel dann für $m=2n$ dieselben Werte liefert wie der zweite Term.

Gemäß der Rechnung breitet sich die Welle hierbei im Metall aus, nicht im Dielektrikum wie bei TEM-Leitungen.

Im vorliegenden Fall gehen wir davon aus, dass alle vorhandenen Komponenten des Phasors $\vec {E}$ dieselbe Phasenlage haben. Gemäß (5.171) gilt dies auch für den Phasor $\vec {H}$. Wie am Ende des Unterabschnitts „Feldwellenwiderstand“ von Abschn. 5.11.2 ausgeführt wurde, kann man aus dem Verschwinden des Skalarprodukts der beteiligten komplexen Vektoren dann tatsächlich eine geometrische Orthogonalität folgern.

auch Wellenzahlvektor genannt.

Wie bereits diskutiert handelt es sich um ebene Wellen; ihre Felder hängen wegen des Skalarprodukts $\vec {k}\cdot \vec {r}$ in (5.170) nur von der Ausbreitungsrichtung ab. In Gebieten mit Raumladung sind auch ebene Wellen mit Longitudinalkomponenten möglich.

auch Brechzahl genannt.

Bei Eis, also bei tiefen Temperaturen, beginnt die Abnahme von $\varepsilon _{\textrm{r}}$ bereits bei deutlich niedrigeren Frequenzen.

Insbesondere werden wir $\varepsilon $ nicht als konstanten Wert ansehen, der nur für niedrige Frequenzen gilt, wie es historisch üblich war (vgl. [6], Kap. I, Abschn. 1.2).

Weiter unten wird sich herausstellen, dass die beiden Klammerausdrücke gleich null sind, sodass sie nicht aus der Gleichung herausgekürzt werden dürfen.

Auch hier erkennt man später, dass die Klammerausdrücke sogar gleich null sind und deshalb nicht herausgekürzt werden dürfen.

Nachdem wir den Ansatz bestätigt haben, dass die Wellenvektoren und die Poyntingvektoren der reflektierten und der transmittierten Welle in der Einfallsebene liegen, gehört diese Information zur Formel (5.213) als Bestandteil des Reflexionsgesetzes bzw. zur Formel (5.214) als Bestandteil des Brechungsgesetzes hinzu.

Auch hier gilt Fußnote 31.

Zu beachten ist, dass die Feldkomponenten so orientiert wurden, dass die elektrischen Feldkomponenten der einfallenden, der reflektierten und der transmittierten Welle gemäß Abb. 5.17 und Abb. 5.18 für $\varphi _{\textrm{E}}=0$ immer in dieselbe Richtung zeigen. Diese Festlegung ist auch in [26, 33] oder [18] zu finden. In anderen Büchern wie [6] oder [38] sind auch andere Ansätze für die Orientierung der Feldkomponenten zu finden, was zu unterschiedlichen Vorzeichen in den resultierenden Formeln führt.

Hier wird von (2.264) Gebrauch gemacht.

Wenn der Aufpunkt, an dem das Feld gemessen wird, hinreichend weit von der Ladungsverteilung entfernt ist, dann entspricht das gemessene Feld näherungsweise dem einer Punktladung.

Später wird erläutert werden, dass (5.241) im Gegensatz zu (5.240) nicht in jedem Fall gefordert werden kann.

Das Gebiet $\Omega $ darf durchaus Löcher enthalten. Solche Löcher können zum Beipiel Leiter repräsentieren, auf denen ein konstantes Potential vorgegeben ist. Die Oberflächen dieser Löcher gehören natürlich zum Rand von $\Omega $.

Für den Teil des Randes $\partial \Omega $, der im Unendlichen liegt, sind analog zu Abschn. 5.15.1 die Randbedingungen im Unendlichen relevant.

Die Vektoren $\vec {r}$ und $\vec {r}_{\textrm{L}}$ seien zweidimensional, sodass $\int \varrho _{\textrm{el}}\textrm{d}A=\lambda _{\textrm{el}}$ gilt.

Man beachte, dass für die dreidimensionale Green’sche Funktion in (5.244) $[G]=1 \; \textrm{m}^{-1}$ gilt, während für die zweidimensionale Green’sche Funktion in (5.248) $[G]=1$ gilt. Dies ist unmittelbar aus (5.239) ersichtlich, wenn man die Ausführungen am Ende von Abschn. 2.19.1 beachtet. Man kann beide Green’schen Funktionen im Allgemeinen nicht ineinander umrechnen.

Wegen des hinreichend starken Abfalls von $\Phi $ und $\frac{\partial G}{\partial n}$ für größer werdende Abstände vom Ursprung liefert nur die x-Achse einen Beitrag zum Integral.

Wegen $\Psi =\Psi _{1}-\int \vec {H}\cdot \textrm{d}\vec {s}$ gemäß (4.58) sowie der Randbedingung $H_{t}=J_{\textrm{F}}$ folgt bei Integration über den Rand $\Psi =-\int J_{\textrm{F}}\textrm{d}s$ ($\Psi _{1}=0$). Für die Integration entlang des Kreisumfanges setzen wir hierbei $H_{t}=H_{\varphi }$. Man beachte, dass deshalb wegen $H_{t}=J_{\textrm{F}}$ die Zählpfeilrichtung für die Flächenstromdichte $J_{\textrm{F}}$ der negativen z-Richtung entspricht.

Durch die Substitution entstehen die Integrationsgrenzen $-\pi -\varphi _{\textrm{L}}$ und $+\pi -\varphi _{\textrm{L}}$. Für ganzzahlige $n> 0$ kann man die Integrationsgrenzen aber wegen der Periodizität des Integranden wieder in den Bereich $[-\pi ,\pi ]$ verschieben.

Mithilfe der Sinus- und Kosinusadditionstheoreme sowie (B.35) und (B.37) kann man aus (5.254) leicht die Beziehung

$$\begin{aligned} \vec {F}=Qv\mu _{0}I_{0}n\frac{r^{n-1}}{R^{n}}\left( \cos ((n-1)\varphi )\vec {e}_{x}-\sin ((n-1)\varphi )\vec {e}_{y}\right) \end{aligned}$$

gewinnen – für $n=1$ gilt also tatsächlich bei konstantem $F_{x}$ stets $F_{y}=0$. Der Leser möge sich nicht daran stören, dass die Beziehungen (B.35) und (B.37) erst im Vertiefungsband hergeleitet werden; die Resultate lassen sich auch mit herkömmlicher Vektoranalysis und geometrischen Überlegungen leicht verifizieren, wie die Lösung zu Übungsaufgabe 2.8 zeigt.

Bei unterschiedlicher Frequenz muss man für die Superposition natürlich in den Zeitbereich wechseln, da dann im Frequenzbereich nicht mehr mit demselben in Phasoren implizit enthaltenen Faktor $e^{j\omega t}$ gearbeitet werden kann.

Titel: Lösungsmethoden und Vertiefung der Grundlagen
verfasst von: Harald Klingbeil
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Buch: Grundlagen der elektromagnetischen Feldtheorie
Print ISBN: 978-3-662-65125-4

Electronic ISBN: 978-3-662-65126-1

Copyright-Jahr: 2022
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-65126-1_5

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