Skip to main content
Fachgebiete
Automobil + Motoren Bauwesen + Immobilien Business IT + Informatik Elektrotechnik + Elektronik Energie + Nachhaltigkeit Finance + Banking Management + Führung Marketing + Vertrieb Maschinenbau + Werkstoffe Versicherung + Risiko
DE
EN
Themenseiten
Organisationspsychologie Projektmanagement Marketing Smart Manufacturing
Bücher
Zeitschriften
Weitere Formate
Podcasts Webinare Technik Webinare Wirtschaft Kongresse Veranstaltungskalender Awards
Jetzt Einzelzugang starten
Zugang für Unternehmen
Referenzkunden
MTZ-Fachkongress

Antriebe und Energiesysteme von morgen


Austausch von Automobil- und Energiewirtschaft

Am 14./15. Mai geht es in Chemnitz um die Mobilitätswende durch Elektro- und Wasserstofffahrzeuge.
Erweiterte Suche
Anmelden
nach oben

2013 | Buch

Logik und Mengen Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

Mathematik für Informatiker

Band 1: Diskrete Mathematik und Lineare Algebra

verfasst von: Gerald Teschl, Susanne Teschl

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : eXamen.press

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Einloggen, um Zugang zu erhalten
insite
SUCHEN

Über dieses Buch

In diesem Lehrbuch werden die mathematischen Grundlagen exakt und dennoch anschaulich und gut nachvollziehbar vermittelt. Sie werden durchgehend anhand zahlreicher Musterbeispiele illustriert, durch Anwendungen in der Informatik motiviert und durch historische Hintergründe oder Ausblicke in angrenzende Themengebiete aufgelockert. Am Ende jedes Kapitels befinden sich Kontrollfragen, die das Verständnis testen und typische Fehler bzw. Missverständnisse ausräumen. Zusätzlich helfen zahlreiche Aufwärmübungen (mit vollständigem Lösungsweg) und weiterführende Übungsaufgaben das Erlernte zu festigen und praxisrelevant umzusetzen. Dieses Lehrbuch ist daher auch sehr gut zum Selbststudium geeignet. Ergänzend wird in eigenen Abschnitten das Computeralgebrasystem Mathematica vorgestellt und eingesetzt, wodurch der Lehrstoff visualisiert und somit das Verständnis erleichtert werden kann.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
1. Logik und Mengen
Zusammenfassung
Die Logik ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Informatik. Sie wird beim Entwurf von Programmen gebraucht oder um die Korrektheit von Algorithmen zu verifizieren. Sie hilft bei der Beantwortung von Fragen wie ”Hat die Switch-Anweisung wohl nichts übersehen?“ oder ”Arbeitet der Algorithmus wohl in allen Spezialfällen so, wie ich es möchte?“. Die Logik ist notwendig, um Anforderungen eindeutig und widerspruchsfrei zu formulieren.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
2. Zahlenmengen und Zahlensysteme
Zusammenfassung
In diesem Abschnitt werden Ihnen einige vertraute Begriffe begegnen. Wir beginnen mit den natürlichen Zahlen.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
3. Elementare Begriffe der Zahlentheorie
Zusammenfassung
Erinnern Sie sich an die Division mit Rest aus Satz 2.49: Wenn \( a \in \mathbb{Z}\ \) und \( m \in \mathbb{N}\ \), so kann man \( a \) in der Form
$$ a = q \cdot m + r\ $$
Gerald Teschl, Susanne Teschl
4. Polynomringe und endliche Körper
Zusammenfassung
Erinnern Sie sich an die Definition eines Körpers in Abschnitt 3.2. Das ist eine Menge \( \mathbb{K} \) gemeinsam mit zwei Verknüpfungen, Addition und Multiplikation genannt, die bestimmte Eigenschaften erfüllen. Insbesondere gibt es für jedes Element \( a \) des Körpers ein inverses Element \( -a \) bezüglich der Addition und für jedes \( a \ne 0 \) ein Inverses \( a^{-1} \) bezüglich der Multiplikation.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
5. Relationen und Funktionen
Zusammenfassung
Relationen sind ein mathematisches Hilfsmittel, um Beziehungen zwischen einzelnen Objekten zu beschreiben. Sie werden zum Beispiel in relationalen Datenbanken und in der theoretischen Informatik (z. B. formale Sprachen) verwendet.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
6. Folgen und Reihen
Zusammenfassung
Wir haben in Kapitel 2 gesehen, dass wir durch gezieltes Probieren die Zahl \( \sqrt 2 \) beliebig genau durch rationale Zahlen annähern können. Ein effizientes Verfahren hat der griechische Mathematiker Heron im 1. Jh. n. Chr. angegeben: Man beginnt mit einem Näherungswert \( {a_1} \), etwa \( {a_1} = 2 \), und wählt einen zweiten Wert \( {b_1} = \frac{2}{{{a_1}}} = 1 \), sodass das Rechteck mit den Seiten \( {a_1} \) und \( {b_1} \) die Fläche \( {a_1}{b_1} = 2 \) hat.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
7. Kombinatorik
Zusammenfassung
Die Kombinatorik untersucht die verschiedenen Möglichkeiten, Objekte anzuordnen bzw. auszuwählen. Sie ist im 17. Jahrhundert durch Fragestellungen begründet worden, die durch Glücksspiele aufgekommen sind. Viele Abzählprobleme können formuliert werden, indem man geordnete oder ungeordnete Auswahlen von Objekten trifft, die Permutationen bzw.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
8. Rekursionen und Wachstum von Algorithmen
Zusammenfassung
Viele Abzählprobleme können nicht direkt mithilfe der Methoden gelöst werden, die wir im Kapitel 7 kennen gelernt haben. Ein Beispiel für ein solches Problem ist: Wie viele Möglichkeiten gibt es, Bitfolgen der Länge \( n \) zu bilden, die keine aufeinander folgenden 1 enthalten? Wenn wir zum Beispiel \( n = 3 \) setzen, dann können wir die erlaubten Bitfolgen leicht anschreiben: 000, 100, 010, 001, 101; es gibt also fünf derartige Folgen.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
9. Vektorräume
Zusammenfassung
Größen wie Geschwindigkeit, Kraft, usw. sind dadurch gekennzeichnet, dass sie nicht nur einen Betrag, sondern auch eine Richtung haben. Sie können durch Pfeile veranschaulicht werden. Man nennt solche Größen auch vektorielle Größen, im Unterschied zu so genannten skalaren Größen, wie etwa einer Temperatur, die durch eine einzige reelle Zahl (einen Skalar) angegeben werden kann.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
10. Matrizen und Lineare Abbildungen
Zusammenfassung
In den meisten Programmiersprachen steht der Datentyp array (engl. für Feld, Anordnung) zur Verfügung. In einem array können mehrere gleichartige Elemente zusammengefasst werden, auf die mithilfe von Indizes zugegriffen wird. Hat jedes Element einen Index, so entspricht der array einem Vektor; wird jedes Element durch zwei Indizes angegeben, so führt uns das auf den mathematischen Begriff einer Matrix.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
11. Lineare Gleichungen
Gerald Teschl, Susanne Teschl
12. Lineare Optimierung
Zusammenfassung
In vielen Problemen der Praxis werden Lösungen gesucht, die bestimmten Einschränkungen genügen. Diese Einschränkungen können oft durch lineare Ungleichungen beschrieben werden.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
13. Skalarprodukt und Orthogonalität
Zusammenfassung
Wir haben bisher die Addition zweier Vektoren und die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar definiert.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
14. Eigenwerte und Eigenvektoren
Zusammenfassung
Wir haben eine Menge von \( n \) linear unabhängigen Vektoren \( {{\rm{u}}_1},...,{{\rm{u}}_n} \in {\mathbb{R}^n} \) (oder \( {\mathbb{C}^n} \)) als Basis bezeichnet, da sich jeder Vektor \( {\rm{x}} \in {\mathbb{R}^n} \) als Linearkombination
$$ {\rm{x}} = \sum\limits_{j = 1}^n {{y_j}{u_j}} $$
Gerald Teschl, Susanne Teschl
15. Grundlagen der Graphentheorie
Zusammenfassung
Graphen werden in vielen Anwendungsgebieten, wie zum Beispiel Informations- und Kommunikationstechnologien, Routenplanung oder Projektplanung eingesetzt. Sie helfen bei der Beantwortung von Fragen wie: Auf welchem Weg können Nachrichten im Internet möglichst effizient vom Sender zum Empfänger geleitet werden? Wo sollen neue Straßen gebaut werden, um den Verkehrsfluss zu verbessern oder um Wegstrecken zu minimieren? Welche Fahrtroute ist optimal, um möglichst schnell von einem Startort zu einem Zielort zu gelangen? In welcher Reihenfolge soll ein Roboter Löcher in Platinen bohren, sodass er möglichst wenig Zeit pro Platine braucht? Die zunehmende Bedeutung der Graphen kommt vor allem daher, dass sehr komplexe Probleme modelliert und mithilfe von Algorithmen gelöst werden können, die in der Graphentheorie entwickelt wurden.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
16. Bäume und kürzeste Wege
Zusammenfassung
Bäume gehören zu den wichtigsten Typen von Graphen. Sie sind grundlegende Bausteine für alle Graphen. Darüber hinaus sind sie gut geeignet zur Darstellung von Strukturen bzw. Abläufen (z. B. Suchen, Sortieren).
Gerald Teschl, Susanne Teschl
17. Flüsse in Netzwerken und Matchings
Zusammenfassung
Graphen werden oft zur Modellierung von Transportproblemen verwendet. Transportiert wird zum Beispiel Wasser oder Öl in einem Leitungsnetz. Allgemeiner können wir aber auch von einem Fluss von Information, Emails, Anrufen durch ein Kommunikationsnetz, von Menschen im öffentlichen Verkehrsnetz, von PKWs oder Warenlieferungen durch ein Straßennetz, usw. sprechen.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
Backmatter
Metadaten
Titel
Mathematik für Informatiker
verfasst von
Gerald Teschl
Susanne Teschl
Copyright-Jahr
2013
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-642-37972-7
Print ISBN
978-3-642-37971-0
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-642-37972-7

Premium Partner

    Bildnachweise