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2014 | Buch

Elementare Funktionen Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

Mathematik für Informatiker

Band 2: Analysis und Statistik

verfasst von: Gerald Teschl, Susanne Teschl

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : eXamen.press

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

In diesem Lehrbuch werden die mathematischen Grundlagen exakt und dennoch anschaulich und gut nachvollziehbar vermittelt. Sie werden durchgehend anhand zahlreicher Musterbeispiele illustriert, durch Anwendungen in der Informatik motiviert und durch historische Hintergründe oder Ausblicke in angrenzende Themengebiete aufgelockert. Am Ende jedes Kapitels befinden sich Kontrollfragen, die das Verständnis testen und typische Fehler bzw. Missverständnisse ausräumen. Zusätzlich helfen zahlreiche Aufwärmübungen (mit vollständigem Lösungsweg) und weiterführende Übungsaufgaben das Erlernte zu festigen und praxisrelevant umzusetzen. Dieses Lehrbuch ist daher auch sehr gut zum Selbststudium geeignet. Ergänzend wird in eigenen Abschnitten das Computeralgebrasystem Mathematica vorgestellt und eingesetzt, wodurch der Lehrstoff visualisiert und somit das Verständnis erleichtert werden kann.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
18. Elementare Funktionen
Zusammenfassung
Polynome und rationale Funktionen haben die angenehme Eigenschaft, dass man ihre Funktionswerte leicht, nämlich nur unter Verwendung der Grundrechenoperationen +, -, ., /, berechnen kann. Das sind aber die einzigen Operationen, die ein Computer von sich aus beherrscht! Mehr muss er aber zum Glück auch nicht können, denn alle komplizierteren Funktionen werden einfach durch Polynome approximiert.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
19. Differentialrechnung I
Zusammenfassung
Betrachten wir die Funktion \( f(x) = \frac{{\sin (x)}}{x}. \) Sie ist an der Stelle \( {x_0} = 0 \) nicht definiert, es gibt hier also keinen Funktionswert. Wir können uns nun fragen, wie sich die Funktionswerte verhalten, wenn sich das Argument \( x \) dem Wert 0 nähert. Man könnte vermuten, dass die Funktionswerte dann wegen des Faktors \( \frac{1}{x} \) über alle Schranken wachsen. Andererseits verschwindet aber auch \( \sin (x) \) an der Stelle \( {x_0} = 0 \), daher könnte man auch vermuten, dass die Funktionswerte sich immer mehr dem Wert 0 nähern. Es könnte aber auch sein, dass sich die Nullstelle des Zählers und des Nenners in irgendeiner Weise „aufheben“!
Gerald Teschl, Susanne Teschl
20. Differentialrechnung II
Zusammenfassung
Wir haben in Abschnitt 19.2 gesehen, dass eine Funktion \( f \) in der Nähe einer Stelle \( {x_0} \) durch ihre Tangente angenähert werden kann. Oft ist diese Approximation durch ein Polynom vom Grad 1 aber nicht gut genug. Ist es möglich dieses Verfahren zu verfeinern, indem man Polynome höheren Grades verwendet? Diese Frage führt uns zu den so genannten Taylorpolynomen bzw. Taylorreihen.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
21. Integralrechnung
Zusammenfassung
Im letzten Kapitelhaben wir Funktionen differenziert.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
22. Fourierreihen
Zusammenfassung
Nehmen wir an, wir haben ein akustisches Signal, das wir auf einem Computer abspeichern möchten. Das Signal könnte wie in Abbildung 22.1 aussehen.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
23. Differentialrechnung in mehreren Variablen
Zusammenfassung
Bis jetzt haben wir es fast ausschließlich mit Funktionen einer Variable zu tun gehabt. Nicht in jeder Situation kommt man aber damit aus. So wird z. B. der Ertrag einer Firma im Allgemeinen von mehreren Faktoren abhängen und ist somit eine Funktion von mehreren Variablen. Diesen Fall wollen wir nun eingehender untersuchen.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
24. Differentialgleichungen
Zusammenfassung
Angenommen, \( x(t) \) beschreibt die Größe einer Population (z. B. Bakterien) zur Zeit \( t \). Im einfachsten Fall ist die Zunahme der Population proportional zur vorhandenen Population, d.h.,
$$ \frac{d}{{dt}}x(t) = \mu x(t), $$
Gerald Teschl, Susanne Teschl
25. Beschreibende Statistik und Zusammenhangsanalysen
Zusammenfassung
Eine grundlegende Aufgabe der Statistik besteht darin, Informationen über bestimmte Objekte zu gewinnen, ohne dass dabei alle Objekte untersucht werden müssen. Es werden also Daten über eine Stichprobe erhoben und in der Folge ausgewertet, um daraus Schlussfolgerungen ziehen zu können.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
26. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zusammenfassung
Wenn Sie eine Münze werfen, so bestimmt der „Zufall“, ob das Ergebnis „Kopf“ oder „Zahl“ sein wird. Wenn aus einer Warenlieferung 100 Glühbirnen zufällig entnommen werden, so kann man ebenfalls nicht vorhersagen, wie groß die Anzahl der defekten Glühbirnen darunter sein wird.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
27. Zufallsvariablen
Zusammenfassung
In vielen Zufallsexperimenten sind die Ereignisse durch reelle Zahlen gegeben oder können auf einfache Weise durch reelle Zahlen codiert werden (zum Beispiel beim Münzwurf: Kopf = 1, Zahl = 0). Das führt auf den Begriff der Zufallsvariablen.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
28. Spezielle diskrete Verteilungen
Zusammenfassung
Wir besprechen in diesem Kapiteleinige in der Praxis wichtige diskrete Verteilungen: die hypergeometrische Verteilung, die Binomialverteilung und die PoissonVerteilung. Im vorhergehenden Kapitelsind Ihnen (ohne dass sie so genannt wurden) bereits hypergeometrisch und binomialverteilte Zufallsvariable begegnet. Da sie so oft auftreten, überlegt man sich in der Praxis nicht von Problemstellung zu Problemstellung die Wahrscheinlichkeitsverteilung neu, sondern greift auf Formeln zurück (bzw. auf Computer-/Taschenrechnerfunktionen). Die Kunst besteht darin zu erkennen, wann es sich um welche Verteilung handelt.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
29. Spezielle stetige Verteilungen
Zusammenfassung
Die Normalverteilung ist ohne Zweifel die wichtigste Verteilung der Statistik. Sie ist zu erwarten, wenn ein Merkmal, zum Beispiel die Füllmenge X von automatisch abgefüllten Gläsern, sich aus einer Summe von vielen zufälligen, unabhängigen Einflüssen, von denen keiner dominierend ist, zusammensetzt. Solche Einflüsse können zum Beispiel sein: Auswirkungen von Temperatur oder Feuchtigkeit auf Automaten und Material; kleine, anhaltende Erschütterungen verschiedener Ursachen; Unregelmäßigkeiten in der Zusammensetzung eines Materials, usw. Alle diese Einflüsse addieren sich zu möglichen Werten von X, die sich um eine mittlere Lage häufen und symmetrisch nach kleineren und größeren Werten hin immer seltener vorkommen. Diese Tatsache wird durch den zentralen Grenzwertsatz beschrieben, den wir im nächsten Abschnitt näher beleuchten werden.
Gerald Teschl, Susanne Teschl
30. Schließende Statistik
Zusammenfassung
Wir betrachten eine endliche oder unendliche Grundgesamtheit (z. B. die Bevölkerung eines Landes, alle Artikel aus einer laufenden Produktion). Wenn sie endlich ist, so bezeichnen wir ihren Umfang mit N. An den Elementen der Grundgesamtheit interessiert uns ein Merkmal X (z. B. Alter, Durchmesser, … ).
Gerald Teschl, Susanne Teschl
Backmatter
Metadaten
Titel
Mathematik für Informatiker
verfasst von
Gerald Teschl
Susanne Teschl
Copyright-Jahr
2014
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-642-54274-9
Print ISBN
978-3-642-54273-2
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-642-54274-9

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