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Erschienen in:

2021 | OriginalPaper | Buchkapitel

2. Analyse von Deskriptormodellen

verfasst von : Felix Gausch

Erschienen in: Nichtlineare Deskriptormodelle

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Zusammenfassung

Im diesem Kapitel werden zunächst gängige Strukturen von Deskriptormodellen beschrieben. Das sind semi-explizite, explizite und implizite mathematische Modelle, in denen die Differentialgleichungen von 1. Ordnung sind; dabei ist das Auftreten von Zeitableitungen der Eingangsgrößen von Bedeutung. Dann wird für die Analyse von regulären realisierbaren semi-expliziten Deskriptormodellen der sogenannte „Modifizierte Shuffle-Algorithmus“ angegeben; dabei werden der Differentiationsindex und das zugehörige explizite Deskriptormodell mit konsistenten Anfangswerten ermittelt. Ob semi-explizites oder explizites Deskriptormodell, beide Modelle gelten als Beschreibungen der Dynamik ein und desselben wohldefiniert und eindeutig ablaufenden Prozesses; dies führt auf die Frage, unter welchen Bedingungen die Lösungen beider mathematischen Modelle identisch sind. Untersuchungen zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf einer Mannigfaltigkeit werden dazu durchgeführt.

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AI als Akronym für Affine Input; in der deutschsprachigen Literatur findet man auch manchmal die Bezeichnung ALS-Systeme [72], ALS ist ein Akronym für Analytische Systeme mit linearer Steuerung.

In diesem einfachen linearen Beispiel kann man das Zustandsmodell auch mit elementaren Rechenschritten aus dem Deskriptormodell (2.10) gewinnen.

Da sowohl \(x_1\) als auch \(x_2\) Ausgang eines Integriers ist, bildet die algebraische Gleichung \(0=x_1 - x_2\) strukturell gesehen keine algebraische Schleife, die mit der SIMULINK-Bibliotheksfunktion Algebraic Constraint aufgebrochen werden könnte – die genannte Bibliotheksfunktion ist für die Verwendung in DAE-Systemen vom Index 1 konzipiert.

An der Humbold-Universität zu Berlin wurden spezielle Algorithmen für die numerische Simulation einer breiten Klasse von Deskriptormodellen entwickelt [39]; sie gehören zur Zeit aber nicht zu den kommerziell verfügbaren Software-Paketen.

Man nennt \(k_i\) den Index der i-ten algebraischen Gleichung \(g_i\) (auch Gleichungsindex genannt) und kennzeichnet damit diejenige zeitliche Ableitung von \(g_i\), in der erstmals die Ableitung wenigstens einer algebraischen Variablen vorkommt, ohne dass diese Abhängigkeit im Fall \(p>1\) durch die restlichen algebraischen Gleichungen kompensiert werden kann.

Für implizite DAE-Systeme gibt es einen alternativen Weg zur Bestimmung des Differentiationsindexes [23].

Das setzt voraus, dass sowohl Fehler als auch zu grobe Vereinfachungen in der Modellierung ausgeschlossen sind.

Offenkundig gilt der Übergang (2.25) vom Rekursionsschritt \(j-1\) zum Schritt j auch dann, wenn keine funktionellen Abhängigkeiten vorhanden sind, wenn also für die Hilfsfunktionen \(\tilde{h}_{i,j}^{(l)}=0\) gesetzt werden kann.

Hier ist der Fall einer singulären Jacobi-Matrix der Funktion \(\mathbf {g}(\mathbf {x},\mathbf {z},\mathbf {u})\) bezüglich \(\mathbf {z}\) von Interesse, denn andernfalls ist der Index \(k=1\) und der „Output“ (2.27) des Modifizierten Shuffle-Algorithmus identisch mit seinem „Input“ (2.26b).

Der Leser wird schon bemerkt haben, dass dieses Beispiel ausgesucht demonstrativ ist und das zugehörige Zustandsmodell einfach \(\dot{x}_1=0\) lautet.

Es ist unerheblich, ob das Index-1-Modell als gegeben oder als vom Modifizierten Shuffle-Algorithmus geliefert anzusehen ist. Siehe dazu auch den Vermerk am Ende des Anhangs B.6.

Im Vektor \(\mathbf {x}\) sind die Öffnungsgrade der Ventile \(V_1\) und \(V_2\) gemäß Abb. 1.4 zusammengefasst; \(\mathbf {x}=\mathbf {0}\) bedeutet, dass beide Ventile geschlossen sind und daher die Volumenflüsse in der Trocken- und in der Feuchtgasleitung verschwinden (\(\mathbf {z}=\mathbf {0}\)) – d. h. die Anlage ist nicht in Betrieb.

Titel: Analyse von Deskriptormodellen
verfasst von: Felix Gausch
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Buch: Nichtlineare Deskriptormodelle
Print ISBN: 978-3-658-31943-4

Electronic ISBN: 978-3-658-31944-1

Copyright-Jahr: 2021
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-31944-1_2