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Erschienen in:
Zustands- und Deskriptormodelle Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

2021 | OriginalPaper | Buchkapitel

3. Linearisierung mittels Rückführung

verfasst von : Felix Gausch

Erschienen in: Nichtlineare Deskriptormodelle

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Zusammenfassung

Dieses Kapitel behandelt die Linearisierung und Entkopplung des Eingangs-Ausgangsverhaltens von regulären realisierbaren semi-expliziten Deskriptormodellen mit Hilfe von differentialgeometrischen Methoden. Es wird gezeigt, dass der bei Zustandsmodellen maßgebliche relative Grad noch mit dem sogenannten „Ableitungsgrad“ zu ergänzen ist, um die den Deskriptormodellen innewohnenden Besonderheiten adäquat zu fassen. Er ist relevant bei der Entscheidung, ob zur Lösung der Linearisierungsaufgabe eine statische Rückführung geeignet oder dazu eine dynamische Rückführung erforderlich ist. Einen hohen Stellenwert in der herausgearbeiteten Entwurfsprozedur besitzt ein eigens für Deskriptormodelle eingeführter rekursiver „Operator N“; seine Rolle entspricht im Rahmen von Deskriptormodellen derjenigen der Lie-Ableitung im Zusammenhang mit Zustandsmodellen. Schließlich wird untersucht, unter welchen Bedingungen eine statische Rückführung bei semi-expliziten Deskriptormodellen zur Ausbildung algebraischer Schleifen im Gesamtmodell und damit zu Realisierungsproblemen führen kann.

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Fußnoten
1
Im Falle von Zustandsmodellen werden die Zustandsvariablen und im Falle von Deskriptormodellen die Deskriptorvariablen rückgekoppelt.
 
2
Aufgrund der vorausgesetzten Realisierbarkeit sind höhere Ableitungen nicht möglich.
 
3
Diese Abkürzung erlaubt eine formale Darstellung der Definition 3.2 des Ableitungsgrades einer Ausgangsgröße. In der Form (3.15) ist das Maximum der Laufvariablen j wie folgt begründet: Ein Vorgriff auf die Definition 3.4 des vektoriellen relativen Grades zeigt, dass \(r_i \le \tilde{n}\) und \(r_i \ge \gamma _i - 1\) gilt; daraus folgt \(\gamma _i \le {\tilde{n}} + 1\) – dies sei das Zwischenergebnis \((*)\). Nun gilt nach Gl. (2.​32) für die Anzahl der Freiheitsgrade \({\tilde{n}}=n+p-k_S\); beachtet man, dass per Def. (2.​31) für den Summenindex \(k_S=k_1+ \ldots +k_p\) und per Def. (2.​24) für die Gleichungsindizes \(k_i \ge 1\) gilt, so folgt \(k_S - p \ge 0\) und damit für die Anzahl der Freiheitsgrade \({\tilde{n}} \le n\) – die Berücksichtigung dieses Ergebnisses im Zwischenergebnis \((*)\) zeigt schließlich, dass \(\gamma _i\) nicht größer als \(n+1\) sein kann.
 
4
Mit konstanten Elementen \(\gamma _1\) bis \(\gamma _m\) wird ein Gebiet für die Deskriptorvariable \(\mathbf {w}=[\mathbf {x}^T, \mathbf {z}^T]^T\) im \(R^{n+p}\) festgelegt.
 
5
Es ist offensichtlich, dass hierin die Definition (3.15) der einzelnen Ableitungsgrade enthalten ist, beide Definitionen aber nicht äquivalent sind.
 
6
Übereinstimmend mit den Ausführungen zu den obigen Punkten 1. und 2. kann die Laufvariable j nur die Werte \(j=\gamma _i-1\) und \(j=\gamma _i\) annehmen; über die genannten Punkte hinaus kann formal gesehen auch der Fall \(j>\gamma _i\) – also \(r_i>\gamma _i\) – eintreten; in [49] wird ausführlich dargelegt, dass damit der Verlust der Realisierbarkeit im rückgekoppelten System einhergeht. Deshalb wurde dieser Fall in Def. 3.4 aus dem Formalismus genommen; außerdem setzt die hierin gewählte Form die Kenntnis von \(\gamma _i\) bereits voraus.
 
7
Eventuell treten hier die oben angesprochenen Probleme auf.
 
8
Die Bedingung (3.28) bedeutet i. A. nicht, dass die algebraische Gleichung im Modell (3.8) unabhängig von \({\mathbf {u}}\) sein muss.
 
9
Nach dem Theorem über implizit gegebene Funktionen (siehe Anhang B.1) stellt die Behauptung 3.2 eine hinreichende Bedingung für die Realisierbarkeit des Gesamtsystems mit einer statischen Rückkopplung dar, sofern die restlichen Voraussetzungen des Theorems erfüllt sind.
 
10
Im Kap. 5 wird eine notwendige und hinreichende Bedingung für die sogenannte interne Realisierbarkeit von verkoppelten Deskriptor-Modellen hergeleitet; bricht man die dort verwendete Struktur von verkoppelten Deskriptor-Modellen herunter auf die hier vorliegende Struktur eines rückgekoppelten Deskriptor-Modells, kann auch die Notwendigkeit der Behauptung 3.3 gezeigt werden (siehe Abschn. 5.​2.​3).
 
11
Für die Existenz des Ausdrucks muss \(\partial {g_1}/\partial {x_2} \ne \beta {\partial }{f_1}/\partial {x_2}\) gelten, was nach umfangreichen Rechnungen folgt.
 
12
Stünden solche Messwerte zur Verfügung, könnten sie für den Betrieb von zwei getrennten Mengenregelkreisen eingesetzt werden, wenn hierfür die Sollwerte \(Q_{1,s}, Q_{2,s}\) aus den Knotengleichungen (1.​23) bei vorgegebenen Referenzwerten \(Q_r, f_r\) für die Menge und Feuchte des Mischgases ermittelt werden. Unter solchen Umständen wäre eine Linearisierungs- und Entkopplungseinrichtung nicht erforderlich.
 
Metadaten
Titel
Linearisierung mittels Rückführung
verfasst von
Felix Gausch
Copyright-Jahr
2021
Buch
Nichtlineare Deskriptormodelle

Print ISBN: 978-3-658-31943-4

Electronic ISBN: 978-3-658-31944-1

Copyright-Jahr: 2021

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-31944-1_3

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