5. Verkopplung von Deskriptormodellen

Bemerkung zur Realisierbarkeit als eine Eigenschaft von Modellen: An einem beschalteten Operationsverstärker (es sei angenommen, dass dessen Dynamik im Wesentlichen durch das Modell \(S_1\) beschrieben werde), kann sehr wohl die Ausgangsspannung in geeigneter Weise auf den Eingang gelegt werden, so dass die in Abb. 5.1 dargestellte Rückkopplung (praktisch) realisiert werden kann. Wenn man allerdings die Rückkopplung mit \(u_1=r-y_1\) mathematisch formuliert in die Ausgangsgleichung \(y_1=x_1-u_1\) des Modells \(S_1\) einsetzt, so geht grob gesprochen letztere verloren; der „Verlust“ der Ausgangsgleichung bedeutet dann, dass der Verlauf des Ausgangssignals mit Hilfe des mathematischen Modells nicht mehr vorhergesagt werden kann, weil er z. B. von parasitären Effekten beeinflusst wird, die nicht modelliert worden sind; so kann man ein (systemtheoretisch) nicht realisierbares mathematisches Modell der Rückkopplung auch verstehen.

Vgl. hierzu die Eigenschaft der „well-posedness“ von linearen Systemen etwa in [10].

Aus dem Modell (5.3) kann die zugehörige Matrizenbelegung unmittelbar abgelesen werden:

Bemerkungen zu den Rechenschritten bei „händischer“ Ermittlung: Der Grund für die Singularität der Matrix \({\mathbf {G}}_2\) ist, dass die erste algebraische Gleichung \(0=-x_1 + v_1=:g_{1,0}\) im Modell (5.3) unabhängig von \({\mathbf {z}}=[u_1,u_2]^T\) ist; somit ist diese Gleichung jedenfalls einmal abzuleiten, was auf \({\dot{g}}_{1,0}=x_1-2 u_1 + {\dot{v}}_1 =:g_{1,1}\) führt. Zusammen mit der gegebenen zweiten algebraischen Gleichung \(0=x_1-u_1-u_2+v_2=:g_{2,0}\) entsteht eine „neue“ algebraische Gleichung \({\mathbf {g}}_1={\mathbf {0}}=[g_{1,1}, g_{2,0}]^T\) mit regulärer Jacobi-Matrix bezüglich \({\mathbf {z}}\). Eine nochmalige Ableitung \((k=2)\) liefert dann für \(\dot{\mathbf {z}}\):

Die Kausalität von Zustandsmodellen wurde bereits mit Def. 1.​1 erfasst; darüber hinaus heißt ein Zustandsmodell aus der Sicht des E/A-Verhaltens realisierbar, wenn die Ausgangsgröße \({\mathbf {y}}(t)\) nicht von den Ableitungen \(\dot{\mathbf {u}}(t)\), \(\ddot{\mathbf {u}}(t), \ldots \) der Eingangsgröße sondern höchstens von der Eingangsgröße \({\mathbf {u}}(t)\) selbst abhängt.

Sind für den Aufbau der Verkopplung Eingangsgrößen \({\mathbf {u}}_j\) erforderlich, so verlangt die Koppelgleichung (5.7), sie zuerst auf Ausgangsgrößen \({\mathbf {y}}_j\) durchzuleiten.

Bei diesem strukturellen Vergleich ist zu beachten, dass nunmehr \({\mathbf {u}}\) die algebraische Variable ist, weil sie die Verkopplung der Teilsysteme zu einem Gesamtsystem beschreibt; in der algebraischen Gleichung (5.13b) bzw. in der eventuell (d. h. sollte das Modell (5.13) höher indiziert sein) vom Modifizierten Shuffle-Algorithmus bereitgestellten algebraischen Gleichung \({\mathbf {0}} = {\mathbf {g}}_{k-1}\) ist deswegen die (zumindest lokale) Regularität der Jacobi-Matrix bezüglich \({\mathbf {u}}\) von Bedeutung. Eingangsgröße im Modell (5.14) ist die Testgröße \({\mathbf {v}}\).

Hinweis: Nur die Matrix \({\mathbf {G}}_z\) ist i. A. eine Blockdiagonalmatrix mit quadratischen Matrizen in der Diagonale.

Hier wird erkennbar, dass die Berechnungen nicht in der vektoriellen Form ausgeführt werden, weil dabei Ausdrücke wie etwa \(\partial {\mathbf {c}}_i/\partial {\mathbf {u}}_j\) mitgeführt würden, obwohl sie für \(i \ne j\) verschwinden.

In [4] wurde ein anderer Weg zur Lösung der Aufgabe eingeschlagen: Dort wurde in einem ersten Schritt die Realisierbarkeit der Teilmodelle unter dem Einfluss der Verkopplung untersucht - maßgeblich dafür ist der Rang einer Matrix \(\hat{\mathbf {G}}\). In einem zweiten Schritt wurde die Realisierbarkeit des Gesamtmodells analysiert - maßgeblich dafür ist der Rang einer Matrix \({\mathbf {M}}\). Diese Matrix \({\mathbf {M}}\) entspricht der Matrix in der Folgerung 5.3. An ausgewählten Beispielen kann man zeigen, dass die Rangprüfung der Matrix \(\hat{\mathbf {G}}\) nicht alle möglichen Fälle der Aufgabenstellung erfasst.

Anzumerken ist, dass mit \(\alpha \beta -1 = 0\) bzw. \(\delta \varepsilon -1 = 0\) die Realisierbarkeit zwar nicht verloren geht, aber die Forderung \(d \in \{0,1\}\) gemäß Definition 2.​3 nicht zu halten wäre; im Beispiel hieße dies, dass die Dynamik in der jeweiligen E/A-Beschreibung nicht enthalten ist – sie wäre nicht steuerbar.

In der einschlägigen Literatur sind eine Reihe anderer Verfahren zur Analyse höher indizierter Deskriptormodelle bekannt. In der Hauptsache sind dies Zugänge, die entweder über einen index-bezogenen Ansatz vorgehen (z. B. [38, 40]) oder über strukturelle Analysen eine Index-Reduktion erzeugen (z. B. [3, 46]).

Das heißt, es werden nur diejenigen Teile beachtet, die strukturell zu einer Schleifenbildung beitragen können.

Die externe Eingangsgröße v ist trotz des gleichen Symbols nicht mit einer Testeingangsgröße v in der Abb. 5.3 gleichzusetzen.

Auf das Postulat 5.1 sei hingewiesen.

Auf das Postulat 5.1 sei hingewiesen.