Methode der finiten Elemente

Eine Einführung unter besonderer Berücksichtigung der Rechenpraxis

verfasst von: Dr. sc. math. Hans Rudolf Schwarz

Verlag: Vieweg+Teubner Verlag

Buchreihe : Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik LAMM

Enthalten in: Professional Book Archive

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Über dieses Buch

Das vorliegende Buch entstand seinerzeit auf die Anregung meines verehrten Lehrers, Herrn Prof. Dr. E. Stiefel. Es richtet sich an Mathematiker, Physiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler, die an einer einfachen, auf die praktische und effiziente Durchführung ausgerichteten einführenden Darstel lung der Methode der finiten Elemente interessiert sind. Im elementar gehaltenen, einführenden Lehrbuch werden die Grundprinzi pien der Methode der finiten Elemente für ein- und zweidimensionale Probleme eingehend dargelegt. Die Verallgemeinerung der Ideen und Vorge hensweisen zur Lösung von dreidimensionalen Aufgaben liegt auf der Hand. Die Behandlung von ein- und zweidimensionalen Problemstellungen bietet den Vorteil anschaulich und durchsichtig zu sein. Es wurde versucht, aus dem weiten Anwendungsbereich der Methode der finiten Elemente typische und repräsentative Problemkreise auszuwählen und die zugehörigen Grundlagen darzustellen. So werden zuerst die für die Physik und verschiedene Zweige der Ingenieur- und Naturwissenschaften wichtigen stationären und instationären Feldprobleme behandelt. Darunter fallen elliptische Randwertaufgaben, instationäre Diffusions-und Wärmeleitungsprobleme sowie Schwingungsauf gaben. Aus dem weiten Gebiet der Elastomechanik werden nur Stäbe, Balken, Scheiben und Platten betrachtet, an denen das grundsätzliche Vorgehen im Rahmen der linearen Elastizitätstheorie aufgezeigt wird.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Mathematische Grundlagen

Zusammenfassung

Die Lösungsfunktion zu Aufgaben aus der Physik oder Technik wird normalerweise durch eine Differentialgleichung in Verbindung mit Rand- und eventuell Anfangsbedingungen charakterisiert. Für eine bestimmte Klasse solcher Probleme existieren Extremalprinzipien, wonach die gesuchte Lösungsfunktion ein entsprechendes Funktional stationär oder in gewissen Fällen sogar extremal macht. Diese vollkommen äquivalenten Formulierungen bieten für die praktische Lösung der Aufgaben wesentliche Vorteile, weshalb diese Extremal- oder Variationsprinzipien im folgenden den zweckmäßigen Ausgangspunkt bilden werden. Daneben existieren aber auch Aufgaben, für welche keine echten Extremalprinzipien vorhanden sind oder hergeleitet werden können. In diesen Fällen müssen notwendigerweise die aus physikalischen Überlegungen hergeleiteten, das Problem beschreibenden Differentialgleichungen den Ausgangspunkt bilden. Sie werden durch geeignete Ansätze näherungsweise so zu lösen versucht, daß der resultierende Fehler beim Einsetzen der Näherungslösung in die Differentialgleichungen in einem zu präzisierenden Sinn möglichst klein ist. Dies ist die Idee der sogenannten Residuenmethoden und führt zu den Gleichungen von Galerkin.

Hans Rudolf Schwarz

2. Elemente und Elementmatrizen

Zusammenfassung

Für eine Auswahl von Elementen und Ansätzen werden im folgenden die zugehörigen Beiträge der verschiedenen Integrale bereitgestellt. Einerseits werden die zweckmäßigen Berechnungsarten dargestellt und anderseits werden eine Reihe von sog. Elementmatrizen hergeleitet und zusammengestellt. Diese Daten bilden die Grundlage zur Lösung von Problemen, wie sie etwa in den Beispielen von Kapitel 1 skizziert worden sind.

Hans Rudolf Schwarz

3. Das Gesamtproblem

Zusammenfassung

Wir wenden uns jetzt der Aufgabe zu, aus den Integralbeiträgen der einzelnen Elemente die zugehörigen Gleichungssysteme von konkreten stationären Problemstellungen, bzw. die Matrizenpaare von Eigenwertaufgaben aufzubauen. Dies wird ein weitgehend organisatorisches Problem der zweckmäßigen Datenvorbereitung sein, um daraus die Gesamtmatrizen kompilieren zu können. Weiter wird gezeigt, wie die Randbedingungen geeignet berücksichtigt werden können, und wie optimale Numerierungen der Knotenvariablen gefunden werden können, um die Gleichungssysteme und Eigenwertaufgaben effizient zu lösen. In diesem Zusammenhang wird auch der Prozeß der Kondensation behandelt, mit welchem die Zahl der Knotenvariablen reduziert wird.

Hans Rudolf Schwarz

4. Behandlung der linearen Gleichungssysteme

Zusammenfassung

In diesem Kapitel befassen wir uns damit, die anfallenden linearen Gleichungssysteme in sehr vielen Unbekannten unter Berücksichtigung ihrer Struktureigenschaften möglichst effizient zu lösen. Die konkrete Wahl einer der im folgenden beschriebenen Methoden zur Lösung eines sehr großen Gleichungssystems mit schwach besetzter Matrix wird entscheidend beeinflußt durch die hardwaremäßigen Gegebenheiten des verwendeten Rechners. So wird in erster Linie die Kapazität des Speichers mit schnellem Zugriff, dann werden ebenfalls die Übertragungsgeschwindigkeit zwischen dem Zentralspeicher und den Hilfsspeichermedien, wie etwa Plattenspeicher, ausschlaggebend sein, und die Architektur des Computers hinsichtlich Vektorisierung und Parallelisierung ihren wesentlichen Einfluß haben.

Hans Rudolf Schwarz

5. Behandlung der Eigenwertaufgaben

Zusammenfassung

Werden Schwingungsaufgaben mit der Methode der finiten Elemente behandelt, ist schließlich ein allgemeines Eigenwertproblem Ax = λBx zu lösen, wo A und B symmetrische Matrizen sind und B positiv definit ist. In der Regel werden nur relativ wenige, und meistens die kleinsten Eigenwerte mit den zugehörigen Eigenvektoren gesucht, da in den technischen Aufgabenstellungen nur die Eigenfrequenzen in einem bestimmten Intervall von Interesse sind. Überdies sind die höheren Eigenwerte als Folge der Diskretisation mit zunehmenden relativen Fehlern behaftet und werden deshalb für die Problemstellung bedeutungslos.

Hans Rudolf Schwarz

6. Anwendungen mit Resultaten

Zusammenfassung

An einer Reihe von praxisbezogenen Beispielen aus verschiedenen Anwendungsgebieten soll die Durchführung der Methode der finite Elemente aufgezeigt warden. In einigen Fällen warden zu Vergleichszwecken Resultate für verschiedene Ansätze und Elementeinteilungen zusammengestellt. Dann soll aber auch die Wirkungsweise der numerischen Verfahren zur Lösung der linearen Gleichungssysteme und der Eingenwertprobleme dargelegt warden. Dem Charakter eines Lehrbuches entsprechend sind die Beispiele einerseits möglichst typisch und repräsentativ, anderseits aber überblickbar genug gewählt, so daß sie mit Hilfe von Computerprogrammen ohne weiteres nachvollzogen werdon können. Die Ergebnisse wurden zum größten Teil mit Rechenprogrammen erhalten, die in [Scw91] enthalten sind, oder die daraus mit einigen Modifikationen gewonnen warden können. Die Berechnungen wurden auf einem IBM Personal System/2, Modell 80–071, unter DOS 3.30 durchgeführt. Allenfalls angegebene Rechenzeiten sind, falls nichts anderes angegeben ist, auf diesem System gemessen worden. Sie sind nicht nur vom Compiler, sondern auch von der Zahl der Output-Anweisungen für Zwischenergebnisse über den Ablauf der Rechnung abhängig. Sie sollen hauptsächlich Relationen der Effizienz verschiedener Verfahren aufzeigen.

Hans Rudolf Schwarz

Backmatter

Titel: Methode der finiten Elemente
verfasst von: Dr. sc. math. Hans Rudolf Schwarz
Verlag: Vieweg+Teubner Verlag
Electronic ISBN: 978-3-663-10784-2
Print ISBN: 978-3-519-22349-8
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-10784-2

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Über dieses Buch

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Mathematische Grundlagen

2. Elemente und Elementmatrizen

3. Das Gesamtproblem

4. Behandlung der linearen Gleichungssysteme

5. Behandlung der Eigenwertaufgaben

6. Anwendungen mit Resultaten

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