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2016 | Buch

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Nichtlineare Finite-Elemente-Berechnungen

Kontakt, Kinematik, Material

verfasst von: Wilhelm Rust

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik"

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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch beschreibt die numerische Berechnung von Nichtlinearitäten in der Strukturmechanik, d. h. große Drehungen, große Dehnungen (geometrische Nichtlinearitäten), nichtlineares Materialverhalten, besonders Plastizität und zeitabhängiges Verhalten, und Kontakt. Darauf aufbauend werden Stabilitätsprobleme und Traglastberechnungen behandelt. Dabei wird am Beispiel einfacher Systeme die Problematik erläutert, formelmäßig erfasst, in den Kontext der Finiten Elemente eingebunden und bis zum Dreidimensionalen verallgemeinert. Die einzelnen Schritte werden detailliert bis hin zu Zahlenbeispielen. Die vorliegende Auflage wurde vollständig überarbeitet und im Bereich der mathematischen Methoden, der kontinuumsmechanischen Darstellung, im Vergleich der verschiedenen Konzepte für große Verformungen, bei Stabilität und dem Bogenlängenverfahren erweitert. Das Kontaktkapitel wurde um Mortar-Kontakt und um Beispielrechnungen, die auch die Lösung der nichtlinearen Gleichungen erläutern, ergänzt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Grundlegende Mathematische Methoden

Zusammenfassung

Dieses Kapitel erscheint hier, weil es für alle nachfolgenden Teilgebiete von Bedeutung ist. Man kann die Beschäftigung damit zurückstellen, bis man sich zu den ersten nichtlinearen FEM-Gleichungen vorgearbeitet hat.

Wilhelm Rust

2. Geometrisch nichtlineares Verhalten

Zusammenfassung

Bei einer geometrisch linearen Berechnung geht man von folgenden Voraussetzungen aus:

Gleichgewicht am unverformten System,

kleine Rotationen, damit linearisierte Kinematik (s. Abb. 2.1),

kleine Dehnungen,

d. h. es ist sinnvoll und ausreichend, die Dehnungen als Längenänderungen bezogen auf die Ausgangslängen l ₀ zu definieren.

Von diesen Voraussetzungen wird im Folgenden schrittweise abgewichen, d. h. es werden

Gleichgewicht am verformten System,

große Drehungen (Rotationen) und

große Dehnungen

betrachtet. Eher müsste es kinematische Nichtlinearität heißen, der obige Begriff ist aber eingeführt, vermutlich weil diese Winkelbeziehungen in der Mathematik Teil der Geometrie sind.

Es wird nur von Voraussetzung 1 abgewichen. Diese Theorie ist für die meisten Anwendungen im Bauwesen ausreichend und bildet die Grundlage der Euler’schen Knicktheorie und der gängigen analytischen Lösungen für Plattenbeulen.

Wilhelm Rust

3. Stabilitätsprobleme

Zusammenfassung

Ein Balken wird in seiner Längsrichtung durch eine Druckkraft belastet. Die Last wird erhöht. Plötzlich weicht der Stab zur Seite, quer zur Achse, aus: er knickt.

Andere Instabilitätsphänomene eines Balkens sind Verdrehen unter einer Druckkraft (Drillknicken) und Verdrehen bzw. Ausweichen des Druckgurtes unter einer Biegebeanspruchung (Kippen) sowie Kombinationen (Biegdrillknicken).

Ein ähnlicher Effekt kann bei einer in der Ebene belasteten Platte auftreten, nämlich Ausweichen senkrecht zur Ebene. Man spricht hier von Beulen.

Diese Phänomene haben gemein, dass die Verschiebungen senkrecht zur Lastrichtung auftreten. Ab jetzt wird wegen der Gleichheit der numerischen Behandlung nur noch von Beulen gesprochen. Am idealen, nicht ausgebeulten System ist Gleichgewicht theoretisch weiterhin möglich. Eine minimale Störung, die praktisch immer vorhanden ist, löst jedoch die Querverformung ab einem bestimmten Lastniveau aus. Wegen der zwei Gleichgewichtspfade (ideal und gebeult) spricht man von einem Verzweigungsproblem (Abb. 3.3).

Im Falle des Zweibocks aus Abb. 2.13 beginnt die Verschiebung nahezu proportional zur Last, nimmt aber später immer schneller zu, bis die Last gar nicht mehr gesteigert werden kann. An dieser Stelle befindet sich der Lastangriffspunkt noch oberhalb der Verbindungslinie der Fußpunkte (Abb. 3.4). In einem kraftgesteuerten Versuch wird das System plötzlich nachgeben und – vorausgesetzt, dass es nicht zerstört wird – erst wieder ein Gleichgewicht erreichen, wenn sich die bisherige Spitze unten befindet (Abb. 3.5).

Wilhelm Rust

4. Lastinkrementierung in einer nichtlinearen Berechnung

Zusammenfassung

Ein Tragwerk kann durch verschiedenartige Lasten beansprucht sein. Hier werden Kraftgrößen wie Kräfte, Momente und verteilte Belastungen wie Linien- oder Flächenlasten betrachtet. Die in einem Vektor $\mathbf{f\,}_{0}^{\text{ext}}$ enthaltenen Basislasten können proportional gesteigert werden. Der Proportionalitätsfaktor ist der Lastfaktor λ:

$$\mathbf{f\,}^{\text{ext}}=\lambda\mathbf{f\,}_{0}^{\text{ext}}$$

(4.1)

$\mathbf{f\,}_{0}^{\text{ext}}$ könnte z. B. die vorgesehene Gebrauchslast sein und λ ein Sicherheitsfaktor des Systems, wobei das maximale λ berechnet werden soll. Hier wird verallgemeinert, dass die von λ abhängige Systemantwort von Interesse ist.

In der nichtlinearen FEM lautet die Gleichgewichtsbedingung:

$$\mathbf{d}\left(\mathbf{u},\lambda\right)=\mathbf{f\,}^{\text{int}}-\mathbf{f\,}^{\text{ext}}=\mathbf{f\,}^{\text{int}}-\lambda\mathbf{f\,}_{0}^{\text{ext}}=\mathbf{0}$$

(4.2)

Im Newton-Raphson-Verfahren erhält man das lineare Gleichungssystem

$$\mathbf{K}_{T}\left(\mathbf{u}\right)\Updelta\mathbf{u}=\lambda\mathbf{f\,}_{0}^{\text{ext}}-\mathbf{f\,}^{\text{int}}$$

(4.3)

Wilhelm Rust

5. Grundzüge der Materialmodelle

Zusammenfassung

Bei Materialmodellen geht es um die Zusammenhänge zwischen Dehnungen und Spannungen, im Folgenden wird aber auf einfache Bauteile Bezug genommen, deren Kraft-Weg-Verhalten bekannt ist. Als Grundlage für ein Werkstoffgesetz muss nur der Weg durch die Dehnung und die Kraft durch die Spannung ersetzt werden.

Das Grundelement für lineare Elastizität ist die Feder (Hooke-Element) wie in Abb. 5.1.

In Kräften F und Verschiebungen u gilt:

$$F=ku$$

(5.1)

wobei k die Federsteifigkeit darstellt, in Spannungen σ und Dehnungen $\varepsilon$ gilt:

$$\sigma=E\varepsilon$$

(5.2)

wobei E der Elastizitätsmodul ist.

Das Kraft-Weg- bzw. Spannungs-Dehnungs-Diagramm hat folgende Form (s. Abb. 5.2).

Die Fläche unter der Kraft-Weg-Kurve gibt die verrichtete Arbeit, unter dem Spannungs-Dehnungs-Diagramm die Arbeit für ein infinitesimal kleines Volumenelement, die Elementararbeit, an. Deshalb heißen die Diagramme auch Arbeitsdiagramme.

Für nichtlineare Elastizität muss statt (5.2) eine nichtlineare Funktion definiert werden. Es bleibt aber dabei, dass die Spannung eine Funktion der Gesamtdehnung ist und nicht in Inkrementen formuliert werden muss. Außerdem bleibt es dabei, dass Be- und Entlastung auf demselben Pfad erfolgen (Abb. 5.3). Als Symbol wird auch eine Feder gewählt.

Wilhelm Rust

6. Theorie und Numerik der linearen Visko-Elastizität

Zusammenfassung

Das Materialmodell ist interpretierbar als eine Parallelschaltung einer Feder mit n Maxwell-Elementen (Reihenschaltung Feder – Dämpfer) wie in Abb. Abb. 5.17.

Wilhelm Rust

7. Theorie und Numerik des Kriechens

Zusammenfassung

Unter Kriechen seien hier das Kriechen im klassischen Sinne (Abb. 7.1), die zeitliche Zunahme von Dehnungen unter einer konstanten Spannung, der andere Grenzfall, die Relaxation (Abb. 7.2), die zeitliche Abnahme der Spannung unter einer konstanten Zwangsbeanspruchung, und alle Zwischenzustände verstanden, weil sie im gleichen Kontext behandelt werden.

Beim klassischen Kriechen unterscheidet man drei Phasen (Abb. 7.3):

primäres Kriechen mit Abnahme der Kriechgeschwindigkeit
sekundäres Kriechen mit konstanter Kriechgeschwindigkeit (lineare Zunahme der Kriechdehnung) und
tertiäres Kriechen mit erneuter Zunahme der Kriechgeschwindigkeit, die kurz vor dem Bruch erfolgt.

Rechnerisch wird tertiäres Kriechen normalerweise nicht erfasst, der übrige Kriechvorgang wird additiv aufgespalten in einen Anteil mit – bei konstanter Spannung und Temperatur -abnehmender Geschwindigkeit (als primär bezeichnet) und einen mit konstanter Geschwindigkeit (als sekundär bezeichnet).

Kriechgleichungen nehmen normalerweise die Form

$$\dot{\varepsilon}_{{\text{cr}}}=f(\sigma,T,\varepsilon,t)$$

(7.1)

an, d. h. durch die Gesetzmäßigkeiten wird die Kriechgeschwindigkeit beschrieben.

Dabei bedeutenDie Abhängigkeit von der Temperatur wird gerne durch die so genannte Arrhenius-Funktion beschrieben, d. h.

$$\dot{\varepsilon}_{{\text{cr}}}=g\left(\sigma,\varepsilon,t\right)e^{-\frac{C}{T}}$$

(7.2)

C ist eine Konstante, in die die so genannte Aktivierungsenergie eingeht. Bei der Bestimmung von C aus Messwerten, die bei bestimmten Temperaturen ermittelt worden sind, spielt dieser Umstand aber keine Rolle.

Wilhelm Rust

8. Theorie und Numerik der Elasto-Plastizität

Zusammenfassung

Bei duktilen Materialien wie dem Stahl, an dem diese Theorie entwickelt wurde, geht man davon aus, dass bis zum Erreichen einer bestimmten Spannung, der Fließspannung $\sigma_{F}$ oder $\sigma_{y}$ (von engl. yield – Fließen), linear elastisches Verhalten vorliegt, das durch das Hooke’sche Gesetz und damit durch den Elastizitätsmodul E (engl. Young’s modulus) und die Querkontraktionszahl ν (engl. Poisson’s ratio) beschrieben wird. Dies gilt streng genommen nur für Werkstoffe mit ausgeprägter Fließgrenze (engl. yield strength) wie in Abb. 8.1. Der ebenfalls in Abb. 8.1 dargestellte Spitzenwert vor dem Übergang in den ideal-elastischen Bereich wird nicht abgebildet.

Bei nicht ausgeprägter Fließgrenze gilt die lineare Elastizität nur bis zur Proportionalitätsgrenze $\sigma_{p}$. Trotzdem wird als Ersatzfließgrenze gern eine Spannung genommen, bei der ein kleiner, definierter Anteil plastische, also nicht selbstreversible Dehnung auftritt, üblicherweise die 0,2-%-Dehngrenze $R_{p02}$ (Abb. 8.2a). Folgt man dem in der FEM-Simulation, so wird der elastische Bereich bis dahin verlängert (Abb. 8.3) und die Fließkurve entsprechend angepasst.

Wilhelm Rust

9. Kontaktberechnungen: Einführung, Erfüllung der Kontaktbedingung

Zusammenfassung

Wir unterscheiden die folgenden Fälle:

Ein Körper nähert sich einer starren Fläche und wird von dieser aufgehalten. Wird mehr Kraft aufgebracht, wird der Körper von (oder an) dem Hindernis deformiert.

Zwei Körper nähern sich einander und deformieren sich gegenseitig nach der Berührung.

Verschiedene Regionen desselben Körpers berühren sich (Selbstkontakt).

Zwei Starrkörper berühren sich. Das ist eigentlich ein Widerspruch, denn ein Körper wird normalerweise als starr bezeichnet, wenn er deutlich steifer ist als ein anderer oder aus anderen Gründen die Deformation keine Rolle spielt. Dennoch gibt es Programme, bei denen man für die Durchdringung zweier Starrkörper Kraft-Eindringungs-Charakteristiken vorgeben kann.

Diese Situationen haben gemeinsam, dass die Berührzone nicht im Vorhinein bekannt ist. Anderenfalls sollte kein Kontakt modelliert werden. Situation 1 könnte durch Randbedingungen modelliert werden, 2 und 3 durch gemeinsame Knoten oder Koppelgleichungen.

Klebekontakt (bonded contact), bei dem sich die Kontaktelemente nicht öffnen können, wird gern allerdings auch eingesetzt, um verschieden vernetzte Bauteile ohne gemeinsame Knoten aneinander zu binden und stellt insofern eine Ausnahme zu obiger Regel dar. Dies geschieht häufig bei der Übernahme der Geometrie aus einem CAD-System und ist solange zulässig, wie dieser Übergang nicht im Mittelpunkt des Berechnungsinteresses steht.

Abb. 9.1 zeigt die Situationen 1 bis 3 in einem System.

Wilhelm Rust

10. Aspekte der Kontaktmodellierung

Zusammenfassung

Einige spezielle Aspekte werden hier am Beispiel der Penalty-Methode gezeigt, aber bei den anderen Verfahren treten ähnliche Effekte und Probleme auf.

Wilhelm Rust

11. Kontaktfeststellung

Zusammenfassung

Neben der Erzielung von Konvergenz ist der kritischste Punkt bei der Programmierung eines Kontaktalgorithmus’ eine effektive Kontaktsuche. Viel Erfahrung wird benötigt, um alle möglichen Fälle abzudecken. Nicht alles ist veröffentlicht. Darum können hier nur Grundgedanken aufgezeigt werden.

Wie in der Einleitung erwähnt, wird Kontakt durch elementähnliche Gebilde ermittelt: Elemente, Segmente usw., die z. T. nur temporär betrachtet und gespeichert werden.

Für Knoten-zu-Knoten-Kontakt sind alle Kontaktpaare definiert. Die Projektion des Abstandsvektors auf die Normale zur Gleitebene ergibt Eindringung oder Klaffung. Kontaktfeststellung ist hier kein Problem.

Wilhelm Rust

Backmatter

Titel: Nichtlineare Finite-Elemente-Berechnungen
verfasst von: Wilhelm Rust
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-658-13378-8
Print ISBN: 978-3-658-13377-1
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-13378-8

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