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2011 | Buch

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Numerik-Algorithmen

Verfahren, Beispiele, Anwendungen

verfasst von: Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : Xpert.press

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Das Buch ist eine praxisnahe Einführung in die Numerische Mathematik zu grundlegenden Aufgabengebieten wie lineare und nichtlineare Gleichungen und Systeme, Eigenwerte von Matrizen, Approximation, Interpolation, Splines, Quadratur, Kubatur und es behandelt Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen. Die Autoren beschreiben die mathematischen und numerischen Prinzipien wichtiger Verfahren und stellen leistungsfähige Algorithmen für deren Durchführung dar. Zahlreiche Beispiele und erläuternde Skizzen erleichtern das Verständnis. Für jeden Problemkreis werden Entscheidungshilfen für die Auswahl der geeigneten Methode angegeben. Zu allen Verfahren wurden Programme in C entwickelt, die vom Server des Springer-Verlags abrufbar sind.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Darstellung von Zahlen und Fehleranalyse, Kondition und Stabilität

Zusammenfassung

Ein numerisches Verfahren liefert im Allgemeinen anstelle einer gesuchten Zahl a nur einen Näherungswert A für diese Zahl a. Zur Beschreibung dieser Abweichung werden Fehlergrößen eingeführt.

Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka

Kapitel 2. Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen

Zusammenfassung

Ist f eine in einem abgeschlossenen Intervall $I = [a, b]$ stetige und reellwertige Funktion, so heißt eine Zahl $\xi \in I$ eine Nullstelle der Funktion f oder eine Lösung der Gleichung

$$f(x) = 0\,,$$

(2.1)

falls $f(\xi) = 0$ ist.

Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka

Kapitel 3. Verfahren zur Lösung algebraischer Gleichungen

Zusammenfassung

Im Folgenden werden Polynome P _n mit

$$P_{n}(x) = \sum\limits_{j=0}^{n} a_{j}x^{j}, \qquad a_{j} \in \mathbb{C}, \qquad n \in \mathbb{N}, \qquad a_{n} \neq 0$$

(3.1)

vom Grad n betrachtet.

Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka

Kapitel 4. Direkte Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Man unterscheidet direkte und iterative Methoden zur numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme. Die direkten Methoden liefern die exakte Lösung, sofern man von Rundungsfehlern absieht. Die iterativen Methoden gehen von einer Anfangsnäherung für die Lösung (dem sogenannten Startvektor) aus und verbessern diese schrittweise; sie werden in Kapitel 5 behandelt.

Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka

Kapitel 5. Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Bei den direkten Methoden besteht aufgrund der großen Anzahl von Punktoperationen proportional zu n ³ die Gefahr der Akkumulation von Rundungsfehlern, so dass bei schlecht konditioniertem System die Lösung völlig unbrauchbar werden kann. Dagegen sind die iterativen Methoden gegenüber Rundungsfehlern weitgehend unempfindlich, da jede Näherungslösung als Ausgangsnäherung für die folgende Iterationsstufe angesehen werden kann. Die Iterationsverfahren konvergieren jedoch nicht für alle lösbaren Systeme.

Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka

Kapitel 6. Systeme nichtlinearer Gleichungen

Zusammenfassung

Nichtlineare Gleichungssysteme sind einerseits eine Verallgemeinerung der linearen Gleichungssysteme (siehe Kapitel 4), andererseits der nichtlinearen Gleichungen (Kapitel 2). Es handelt sich hier um n nichtlineare Gleichungen, die zu einem System zusammengefügt sind, sich aber nicht in der Form $\boldsymbol{{A}\,{x} = {a}}$ linearer Systeme formulieren lassen. Im Gegensatz zu den linearen Systemen, die eine, unendlich viele oder keine Lösung haben, besitzen nichtlineare Systeme keine, eine, mehrere oder unendlich viele Lösungen.

Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka

Kapitel 7. Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Zusammenfassung

Gegeben ist eine (n,n)-Matrix $\boldsymbol{A} = (a_{ik})$, $i,k = 1(1)n$, und gesucht sind Vektoren x derart, dass der Vektor $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ dem Vektor x proportional ist mit einem zunächst noch unbestimmten Parameter λ

Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka

Kapitel 8. Lineare und nichtlineare Approximation

Zusammenfassung

Es sei $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ eine auf [a, b] stetige Funktion, die durch eine sogenannte Approximationsfunktion $\Phi \in C[a, b]$ angenähert werden soll.

Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka

Kapitel 9. Polynomiale Interpolation sowie Shepard-Interpolation

Zusammenfassung

Gegeben sind n+1 Wertepaare $(x_{i},y_{i})$ mit $x_{i}, y_{i} \in \mathbb{R}$, $i=0(1)n$, in Form einer Wertetabelle:

Die Stützstellen x _i seien paarweise verschieden, aber nicht notwendig äquidistant und auch nicht notwendig in der Anordnung $x_0 < x_1 < x_2 \ldots < x_n$. Die Wertepaare $(x_{i},y_{i})$ heißen Interpolationsstellen.

Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka

Kapitel 10. Interpolierende Polynom-Splines zur Konstruktion glatter Kurven

Zusammenfassung

Für die häufig gestellte Aufgabe, durch n+1 gegebene Punkte ($n \ge 2$)

Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka

Kapitel 11. Akima- und Renner-Subsplines

Zusammenfassung

Wie die interpolierenden kubischen Splines (Kapitel 10) setzen sich die interpolierenden Akima-Subsplines und Renner-Subsplines intervallweise aus kubischen Polynomen zusammen. Während die kubischen Splines zweimal stetig differenzierbar sind, wird von den Subsplines nur die einmalige stetige Differenzierbarkeit gefordert. Je zwei benachbarte Segmente eines Subspline haben im gemeinsamen Stützpunkt dieselbe Tangente, aber nicht dieselbe Krümmung. Daher kann sich an ein krummliniges Segment eines Subspline ein geradliniges mit der Krümmung Null tangential anschließen. Zwei benachbarte geradlinige Segmente, die zu verschiedenen Geraden gehören, erzeugen eine Ecke (Abb. 11.3). Abweichend von den Originalarbeiten von Akima [AKIM1970] und Renner [RENN1981], [RENN1982] werden Ecken hier zugelassen, so dass der Subspline dann nur stückweise stetig differenzierbar ist. Falls Ecken nicht erwünscht sind, können sie durch Einfügen weiterer Punkte vermieden werden (Abb. 11.7). Ein Vorteil der Akima- und Renner-Subsplines gegenüber den anderen Splines ist, dass für die Berechnung ihrer Koeffizienten kein lineares Gleichungssystem gelöst werden muss.

Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka

Kapitel 12. Zweidimensionale Splines, Oberflächensplines, Bézier-Splines, B-Splines

Zusammenfassung

Gegeben seien in der x,y-Ebene ein Rechteckgitter

Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka

Kapitel 13. Numerische Differentiation

Zusammenfassung

Durch Anwendung von Differentiationsregeln kann praktisch jeder Ausdruck aus differenzierbaren Funktionen geschlossen abgeleitet werden. Eine näherungsweise Berechnung der Ableitungen ist nur dann unumgänglich, wenn die zu differenzierende Funktion empirisch gegeben ist.

Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka

Kapitel 14. Numerische Quadratur

Zusammenfassung

Jede auf einem Intervall I _x stetige Funktion f besitzt dort Stammfunktionen F, die sich nur durch eine additive Konstante unterscheiden, mit

$$\frac{\rm d}{{\rm d}x}\,F(x) = F'{}(x) = f(x), \qquad x \in I_{x}.$$

Die Zahl $I(f;\alpha,\beta)$ heißt das bestimmte Integral der Funktion f über [$\alpha,\beta$]; es gilt der Hauptsatz der Integralrechnung

$$I(f;\alpha,\beta) := \int\limits_{\alpha}^{\beta} f(x)\,{\rm d}x = F(\beta) - F(\alpha), [\alpha,\beta] \subset I_{x} ,$$

f heißt integrierbar auf [$\alpha,\beta$].

Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka

Kapitel 15. Numerische Kubatur

Zusammenfassung

Es werden Integrale über beschränkte ebene Bereiche betrachtet. B sei ein Bereich der x,y-Ebene mit stückweise glattem Rand

Die Funktion $f: B \rightarrow \mathbb{R}, B \subset \mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ sei stetig auf B. Dann heißt

$$I(f;B) = \int\int\limits_{B} f(x,y)\;{\rm d}x \, {\rm d}y$$

(15.1)

das Flächenintegral von f über B.

Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka

Kapitel 16. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Es wird ein Anfangswertproblem (AWP) aus n gewöhnlichen Differentialgleichungen (DGLen) erster Ordnung für n Funktionen $y_{r}$, $r = 1(1)n$, und n Anfangsbedingungen (ABen) der Form

Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka

Backmatter

Titel: Numerik-Algorithmen
verfasst von: Gisela Engeln-Müllges
Klaus Niederdrenk
Reinhard Wodicka
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-642-13473-9
Print ISBN: 978-3-642-13472-2
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-13473-9

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