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Applied Categorical Structures

Erschienen in:

19.11.2020

On Equalizers in the Category of Locales

verfasst von: Jorge Picado, Aleš Pultr

Erschienen in: Applied Categorical Structures | Ausgabe 2/2021

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Abstract

The fact that equalizers in the context of strongly Hausdorff locales (similarly like those in classical spaces) are closed is a special case of a standard categorical fact connecting diagonals with general equalizers. In this paper we analyze this and related phenomena in the category of locales. Here the mechanism of pullbacks connecting equalizers is based on natural preimages that preserve a number of properties (closedness, openness, fittedness, complementedness, etc.). Also, we have a new simple and transparent formula for equalizers in this category providing very easy proofs for some facts (including the general behavior of diagonals). In particular we discuss some aspects of the closed case (strong Hausdorff property), and the open and clopen one.

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A space is sober if every completely prime filter \({\mathcal {F}}\) in \(\Omega (X)\) (that is, an \({\mathcal {F}}\) such that \(\mathop {\textstyle \bigcup }_{i\in J}U_i\in {\mathcal {F}}\) only if \(U_j\in {\mathcal {F}}\) for some \(j\in J\)) is \(\{U \ | \ x\in U\} \) for some \(x\in X\) – in other words, if every system of open sets that looks like a neighborhood system is really a neighborhood system of a point. For instance every Hausdorff space is sober.

If L is regular then a homomorphism \(h:M\rightarrow L\) is one-to-one whenever \(h(a)=1\) implies that \(a=1\) – see e.g. [12, V.5.6].

This axiom was introduced in [9]; there Isbell speaks of unordered frames (see also [10, III.1.5]).

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Titel: On Equalizers in the Category of Locales
verfasst von: Jorge Picado
Aleš Pultr
Publikationsdatum: 19.11.2020
Verlag: Springer Netherlands
Erschienen in: Applied Categorical Structures / Ausgabe 2/2021
Print ISSN: 0927-2852
Elektronische ISSN: 1572-9095
DOI: https://doi.org/10.1007/s10485-020-09616-8

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