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Continuum Mechanics and Thermodynamics
Erschienen in: Continuum Mechanics and Thermodynamics 5/2020

05.11.2019 | Original Article

Optimal transport from a point-like source

verfasst von: Franco Cardin, Jayanth R. Banavar, Amos Maritan

Erschienen in: Continuum Mechanics and Thermodynamics | Ausgabe 5/2020

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Abstract

We present a dynamical interpretation of the Monge–Kantorovich theory in a stationary regime. This new principle, akin to the Fermat principle of geometric optics, captures the geodesic character of many distribution networks such as plant roots, river basins and the physiological transportation network of metabolites in living systems. Our general continuum framework allows us to map a previously proposed phenomenological principle into a stationary Monge optimization principle in the Kantorovich relaxed format.
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Fußnoten
1
Do not confuse \(\rho \) with the \(\rho _0\) and \(\rho _1\) of the static case.
 
2
Named often Lagrangian continuity equation.
 
3
The symbols \(\pi ^{(x)}_\#\) and \(\pi ^{(y)}_\#\) denote the push-forward operators based on \(\pi ^{(x)},\, \pi ^{(y)}\), here acting on the measure \(\gamma (x,y)\) and obtaining \( \rho _1(x)\) and \( \rho _0(y)\), respectively.
 
4
After World War II, this theory was rediscovered by G.B. Dantzig, who introduced the ‘simplex’ method.
 
5
See (7) for \(\alpha =1\) and the gradient structure of the diffeomorphism for \(\alpha =2\).
 
6
The power 2 in \(n^2\) of (22) is simply chosen in order that the formula (33) below has compliance with the eikonal equation of geometric optics, in particular, the Hamilton–Jacobi equation \( \parallel \nabla S \parallel =n\), see (46).
 
7
In a related and allied topic, i.e., the diffusion and propagation of the slime mold, the Fick–Poiseuille constitutive law plays an important and meaningful role both in the discrete and in the continuous dynamical model, see [8, 11].
 
8
The space of curves \( H^1_0 ([0,1];{\varOmega })\) is composed by the completion of the \(C^\infty \) curves by the norm \(\Vert h \Vert _{H^1}=\Vert h\Vert _{L^2}+\Vert \dot{h} \Vert _{L^2}\), null at the extremes: \( h(0)=0=h(1)\); Sobolev immersion theorem guarantees that \(H^1\subset C^0\).
 
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28.
Metadaten
Titel
Optimal transport from a point-like source
verfasst von
Franco Cardin
Jayanth R. Banavar
Amos Maritan
Publikationsdatum
05.11.2019
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Erschienen in
Continuum Mechanics and Thermodynamics / Ausgabe 5/2020
Print ISSN: 0935-1175
Elektronische ISSN: 1432-0959
DOI
https://doi.org/10.1007/s00161-019-00844-5

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