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Erschienen in:

2020 | OriginalPaper | Buchkapitel

14. Producte und Quotienten von Moduln. Ordungen (§ 170.)

verfasst von : Katrin Scheel

Erschienen in: Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Zusammenfassung

Während die eben betrachteten Modulbildungen auf dem Begriffe der Theilbarkeit beruhten, gehen wir jetzt zu der hiervon durchaus unabhängigen Multiplication der Moduln über. Sind $\mathfrak {a}$, $\mathfrak {b}$ zwei beliebige Moduln, und bedeutet $\alpha $ jede Zahl in $\mathfrak {a}$, ebenso $\beta $ jede Zahl in $\mathfrak {b}$, so verstehen wir unter dem Producte $\mathfrak {ab}$ der Factoren $\mathfrak {a}$, $\mathfrak {b}$ den Inbegriff aller Zahlen $\mu $, welche als ein Product $\alpha \beta $ oder als Summe von mehreren solchen Producten $\alpha \beta $ darstellbar sind. Da auch jede Zahl $-\alpha $ in $\mathfrak {a}$ enthalten ist, so leuchtet ein, dass jede Differenz von zwei Zahlen $\mu $ ebenfalls eine solche Zahl $\mu $, dass also das Product $\mathfrak {ab}$ wieder ein Modul ist; aber man darf, wie kaum bemerkt zu werden braucht, das Product $\mathfrak {ab}$ nicht mit einem Vielfachen von $\mathfrak {a}$, $\mathfrak {b}$ verwechseln.

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Nimmt man z. B. $\mathfrak {a}=[1]$, $\mathfrak {a}'=[i]$, $\mathfrak {b}=[1,i]$, wo $i^2=-1$, so ist $\mathfrak {ab}=\mathfrak {a}'\mathfrak {b}=\mathfrak {b}$, aber keiner der beiden Moduln $\mathfrak {a}$, $\mathfrak {a}'$ ist durch den anderen theilbar.

Ist z. B. $\mathfrak {a}=[1]$, $\mathfrak {b}=[i]$, $\mathfrak {c}=[1,i]$, wo $i^2=-1$, so ist $\mathfrak {a}-\mathfrak {b}=(\mathfrak {a}-\mathfrak {b})\mathfrak {c}=0$, hingegen $\mathfrak {ac}=\mathfrak {bc}=\mathfrak {ac}-\mathfrak {bc}=\mathfrak {c}$.

Derselbe ist nur ein specieller Fall des folgenden allgemeinen, nicht ganz leicht zu beweisenden Satzes, in welchem wir die oben in (11) gebrauchte Bezeichnung beibehalten: Wenn $n>r>0$, so ist das Product aller Summen von je $(r+1)$ mit verschiedenen Zeigern behafteten Moduln aus der Reihe $\mathfrak {b}_1$, $\mathfrak {b}_2\ldots \mathfrak {b}_N$ identisch mit dem Producte

$$\begin{aligned} \mathfrak {c}_1^{e_1}\mathfrak {c}_2^{e_2}\ldots \mathfrak {c}_{n-r}^{e_{n-r}}, \end{aligned}$$

wo die Exponenten die Binomialcoefficienten

$$\begin{aligned} e_s=\frac{\prod (n-1-s)}{\prod (r-1)\prod (n-r-s)} \end{aligned}$$

bedeuten. Für $r=1$ wird dieses Product $=\mathfrak {c}_1\mathfrak {c}_2\ldots \mathfrak {c}_{n-2}\mathfrak {c}_{n-1}$, und hieraus folgt unser obiger Satz (13) für $n=3$.

Ist der Nenner $\mathfrak {a}=0$, so ist der Quotient der Inbegriff aller Zahlen.

Setzt man $\mathfrak {a}^0-\mathfrak {b}^0=\mathfrak {o}$, so ist zufolge (23): $\mathfrak {z}>\mathfrak {a}^0$, $\mathfrak {z}>\mathfrak {b}^0$, also $\mathfrak {z}>\mathfrak {a}-\mathfrak {b}=\mathfrak {o}$; ferner ist $\mathfrak {o}>\mathfrak {a}^0$, $\mathfrak {o}^2>\mathfrak {a}^0\mathfrak {a}^0=\mathfrak {a}^0$ nach (27), ebenso $\mathfrak {o}^2>\mathfrak {b}^0$, also $\mathfrak {o}^2>\mathfrak {a}^0-\mathfrak {b}^0=\mathfrak {o}$, mithin ist $\mathfrak {o}$ eine Ordnung (nach 26, 27), w. z. b. w.

Setzt man $\mathfrak {a}^0\mathfrak {b}^0=\mathfrak {o}$, so folgt aus (22) $\mathfrak {z}^2>\mathfrak {o}$, und da (nach (4)) $\mathfrak {z}^2=\mathfrak {z}$ ist, so ist $\mathfrak {z}>\mathfrak {o}$; ferner ist nach (25) $\mathfrak {o}^2=\mathfrak {a}^0\mathfrak {a}^0\mathfrak {b}^0\mathfrak {b}^0=\mathfrak {a}^0\mathfrak {b}^0=\mathfrak {o}$, mithin $\mathfrak {o}$ eine Ordnung.

Besser $a_0$ statt $\sigma $.

Titel: Producte und Quotienten von Moduln. Ordungen (§ 170.)
verfasst von: Katrin Scheel
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Buch: Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen
Print ISBN: 978-3-658-30927-5

Electronic ISBN: 978-3-658-30928-2

Copyright-Jahr: 2020
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-30928-2_14

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