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06.03.2019

Stronger Forms of Transitivity and Sensitivity for Nonautonomous Discrete Dynamical Systems and Furstenberg Families

Zeitschrift:
Journal of Dynamical and Control Systems
Autoren:
Risong Li, Yu Zhao, Hongqing Wang, Haihua Liang
Wichtige Hinweise

Publisher’s Note

Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.

Abstract

Let (Y, d) be a nontrivial metric space and (Y, g1,) be a nonautonomous discrete dynamical system given by sequences \((g_{l})_{l = 1}^{\infty }\) of continuous maps gl : YY and let \(\mathcal {F}\), \(\mathcal {F}_{1}\) and \(\mathcal {F}_{2}\) be given shift-invariant Furstenberg families. In this paper, we study stronger forms of transitivity and sensitivity for nonautonomous discrete dynamical systems by using Furstenberg family. In particular, we discuss the \(\mathcal {F}\)-transitivity, \(\mathcal {F}\)-mixing, \(\mathcal {F}\)-sensitivity, \(\mathcal {F}\)-collective sensitivity, \(\mathcal {F}\)-synchronous sensitivity, \((\mathcal {F}_{1},\mathcal {F}_{2})\)-sensitivity and \(\mathcal {F}\)-multi-sensitivity for the system (Y, g1,) and show that under the conditions that gj is semi-open and satisfies gjg = ggj for each j ∈ {1, 2, ⋯ } and that
$$\sum\limits_{j = 1}^{\infty}D(g_{j},g) $$
exists (i.e., \(\sum \limits _{j = 1}^{\infty }D(g_{j},g)<+\infty \)), the following hold:
(1)
(Y, g1,) is \(\mathcal {F}\)-transitive if and only if so is (Y, g).
 
(2)
(Y, g1,) is \(\mathcal {F}\)-mixing if and only if so is (Y, g).
 
(3)
(Y, g1,) is \(\mathcal {F}\)-sensitive if and only if so is (Y, g).
 
(4)
(Y, g1,) is \((\mathcal {F}_{1},\mathcal {F}_{2})\)-sensitive if and only if so is (Y, g).
 
(5)
(Y, g1,) is \(\mathcal {F}\)-collectively sensitive if and only if so is (Y, g).
 
(6)
(Y, g1,) is \(\mathcal {F}\)-synchronous sensitive if and only if so is (Y, g).
 
(7)
(Y, g1,) is \(\mathcal {F}\)-multi-sensitive if and only if so is (Y, g).
 
The above results extend the existing ones.

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