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2014 | OriginalPaper | Buchkapitel

4. The Flamant Problem

verfasst von : P. Podio-Guidugli, A. Favata

Erschienen in: Elasticity for Geotechnicians

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

In 1892, the French mechanist Alfred-Aimé Flamant (1839–1914) posed and solved the equilibrium problem of a linearly elastic, isotropic and homogeneous body occupying a half-space acted upon by a perpendicular line load of constant magnitude per unit length and infinitely long support. In this chapter, we solve the Flamant Problem by a method different from his.

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Fußnoten
1
See Sect. A.​3.​1 for an exposition of the classical Airy method to construct balanced and compatible plane stress fields.
 
2
This circumference has the Cartesian equation
$$\begin{aligned} c^2=(x_1-c)^2+x_2^2=(\rho \cos \vartheta -c)^2+(\rho \sin \vartheta )^2= \rho ^2(1-(2c)\rho ^{-1}\cos \vartheta +c^2/\rho ^2). \end{aligned}$$
In the geotechnical literature, this locus is called the pressure bulb.
 
3
A. Musesti, private communication, June 2004.
 
4
Here \(\widehat{{{\varvec{f}}}}(\mathcal{A},\mathcal{B})\) denotes the total contact force exerted by part \(\mathcal B\) over part \(\mathcal A\) along their common boundary.
 
5
Roughly speaking, the reduced boundary of a set—a measure-theoretic notion carefully introduced, e.g., in [1], p. 154—is the subset of all points of the topological boundary where a (inner) normal is well defined.
 
6
Private communication, August 2004.
 
7
In view of (2.​54), the bounds (2.​44)\(_2\) on \(\nu \), that descend from the positivity requirement for the density of elastic energy, translate into the following equivalent bounds for \(\nu _0\):
$$\begin{aligned} -\frac{1}{2}<\nu _0<1. \end{aligned}$$
 
8
To find this result, (i) differentiate (4.32), and get:
$$\begin{aligned} \frac{2(1-\nu _0)f}{\pi E_0}\cos \vartheta +\widehat{v}^{\prime \prime }(\vartheta )+\widehat{v}(\vartheta )=0; \end{aligned}$$
(ii) recall that the well-known homogeneous equation associated with this second-order ODE admits a family of even solutions:
$$\begin{aligned} \widehat{v}_h(\vartheta )=v_0\cos \vartheta ; \end{aligned}$$
(iii) confirm that function
$$\begin{aligned} \widehat{v}_p(\vartheta )=-\frac{(1-\nu _0)f}{\pi E_0}\vartheta \sin \vartheta \end{aligned}$$
is a particular integral of the complete equation.
 
9
As a rule, when a boundary-value problem is formulated over an unbounded domain, the consequent lack of boundary conditions is compensated by posing on the solution a convenient set of conditions at infinity. This is not doable for the Flamant Problem, where the behavior at infinity of the elastic state is not tunable.
 
Literatur
1.
Ambrosio L, Fusco N, Pallara D (2000) Functions of bounded variation and free discontinuity problems. Oxford University Press, New YorkMATH
2.
Boussinesq J (1878) Équilibre d’élasticité d’un sol isotrope sans pesanteur, supportant différents poids. CR Acad Sci 86:1260–1263MATH
3.
Boussinesq J (1885) Application des Potentiels à l’Étude de l’Équilibre et du Mouvement des Solides Élastiques. Gauthiers-Villars, ParisMATH
4.
Boussinesq J (1888) Équilibre d’élasticité d’un solide sans pesanteur, homogène et isotrope, dont les parties profondes sont maintenues fixes, pendant que sa surface éprouve des pressions ou des déplacements connus, s’annullant hors d’une région restreinte où ils sont arbitraires. CR Acad Sci 106(1043–1048):1119–1123MATH
5.
Boussinesq J (1892) Des perturbations locales que produit au-dessous d’elle une forte charge, répartie uniformément le long d’une droite normale aux deux bords, à la surface supérieure d’une poutre rectangulaire et de longueur indéfinie posée de champ soit sur un sol horizontal, soit sur deux appuis transversaux équidistants de la charge. CR Acad Sci 114:1510–1516MATH
6.
Flamant A (1892) Sur la répartition des pressions dans un solide rectangulaire chargé transversalement. CR Acad Sci 114:1465–1468MATH
7.
8.
9.
Schuricht F (2007) A new mathematical foundation for contact interactions in continuum physics. Arch Rat Mech Anal 184:495–551MathSciNetCrossRefMATH
10.
Schuricht F (2007) Interactions in continuum physics. In: Šilhavý M (ed) Mathematical modeling of bodies with complicated bulk and boundary behavior. Quaderni di Matematica 20:169–196
11.
Šilhavý M (2004) Geometric integration theory and Cauchy’s stress theorem. Unpublished lecture notes, March-September
Metadaten
Titel
The Flamant Problem
verfasst von
P. Podio-Guidugli
A. Favata
Copyright-Jahr
2014
Buch
Elasticity for Geotechnicians

Print ISBN: 978-3-319-01257-5

Electronic ISBN: 978-3-319-01258-2

Copyright-Jahr: 2014

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-01258-2_4