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Erschienen in:
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2018 | OriginalPaper | Buchkapitel

1. Umkehrabbildungen und implizite Funktionen

verfasst von : Prof. Dr. Adrian Hirn, Prof. Dr. Christian Weiß

Erschienen in: Analysis – Grundlagen und Exkurse

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

In diesem Kapitel machen wir uns zunächst auf die Suche nach einer mehrdimensionalen Version dieses Satzes, das heißt, wir wollen die Umkehrabbildung mehrdimensionaler Funktionen verstehen. Danach widmen wir uns den sogenannten impliziten Funktionen. Dabei geht es um die Frage, ob beziehungsweise unter welchen Bedingungen eine gegebene Gleichung lokal nach einer vorgegebenen Variable auflösbar ist.

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Nächstes Kapitel Das mehrdimensionale Riemannsche Integral
Fußnoten
1
Für eine lineare Abbildung \(L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^N\) mit Darstellungsmatrix (Lij) setzen wir \(\left\lVert L\right\rVert :=\left\lVert (L_{ij})\right\rVert :=\big(\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^n |L_{ij}|^2\big)^{1/2}\), siehe Bd. 1, Kap. 8. Für die euklidische Norm \(|\cdot|\) gilt dann \(|L(x)|\leq\left\lVert L\right\rVert |x|\) für alle \(x\in\mathbb{R}^n\) nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung (Bd. 1, Proposition 2.42).
 
2
Für \(x,y\in\mathbb{R}^n\) bezeichnet \(\langle x, y\rangle\) das Standard-Skalarprodukt in \(\mathbb{R}^n\): \(\langle x, y\rangle:=\sum_{i=1}^nx_iy_i\).
 
3
Für eine Funktion \(\varphi\in C^1_0(\skew4\mathring{I},\mathbb{R}^n)\) gibt es also Zahlen α, β mit a < α < β < b, sodass φ(x) = 0 für alle \(x\in I\setminus(\alpha,\beta)\) ist.
 
Literatur
B. Dacorogna, Direct Methods in the Calculus of Variations, Springer, 2008.
S. Hildebrandt, Analysis 2, Springer, 2003.
Metadaten
Titel
Umkehrabbildungen und implizite Funktionen
verfasst von
Prof. Dr. Adrian Hirn
Prof. Dr. Christian Weiß
Copyright-Jahr
2018
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Analysis – Grundlagen und Exkurse

Print ISBN: 978-3-662-55535-4

Electronic ISBN: 978-3-662-55536-1

Copyright-Jahr: 2018

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-55536-1_1

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