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Erschienen in:
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2020 | OriginalPaper | Buchkapitel

20. Zerlegung in unzerlegbare Factoren. Ideale Zahlen (§ 176.)

verfasst von : Katrin Scheel

Erschienen in: Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Zusammenfassung

Das Gebiet \(\mathfrak {o}\) aller ganzen Zahlen \(\omega \), welche in einem Körper \(\varOmega \) vom Grade n enthalten sind, und mit denen wir uns im Folgenden ausschliesslich beschäftigen, besitzt einige allgemeine Eigenschaften, welche denen der früher behandelten speciellen Gebiete [1] und [1, i] genau entsprechen. Wir wollen diese Analogie zunächst verfolgen, um sodann diejenige wesentlich neue Erscheinung hervorzuheben, welche uns zur Einführung neuer Begriffe nöthigen wird.

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Vorheriges Kapitel System der ganzen Zahlen eines endlichen Körpers (§ 175.)
Nächstes Kapitel Ideale. Theilbarkeit und Multiplication (§ 177.)
Fußnoten
1
In den früheren Auflagen habe ich \(\nu \) die zu \(\mu \) adjungirte Zahl genannt, was aber unzweckmässig erscheint, weil diesem Worte von Galois eine ganz andere Bedeutung beigelegt ist (§. 160).
 
2
Allgemein, wenn \(\mathfrak {a}\) irgend ein endlicher, von Null verschiedener Modul, und \(\mathfrak {a}\varepsilon =\mathfrak {a}\) ist, so ist \(\varepsilon \) eine in der Ordnung \(\mathfrak {a}^0\) enthaltene Einheit, und umgekehrt genügt jede solche Einheit \(\varepsilon \) der Bedingung \(\mathfrak {a}\varepsilon =\mathfrak {a}\).
 
3
Ist also \(\alpha \beta \) durch die Primzahl \(\mu \), so ist wenigstens einer der beiden Factoren \(\alpha \), \(\beta \) durch \(\mu \) theilbar.- Aus dieser Definition folgt leicht, dass die kleinste, durch \(\mu \) theilbare natürliche Zahl p eine Primzahl in R, und dass \(\pm N(\mu )=pf\) ist; der Exponent f, welcher immer \(>0\) und \(\le n\) ist, kann der Grad der Primzahl \(\mu \) genannt werden. Die Umkehrung dieses Satzes ist im Allgemeinen nicht gestattet, doch gilt der folgende, ebenfalls leicht zu beweisende Satz: ist \(N(\mu )\) eine Primzahl in R, so ist \(\mu \) eine Primzahl (ersten Grades) in \(\varOmega \).
 
4
Dasselbe ist ausführlicher behandelt in meiner Abhandlung Sur la théorie des nombres entiers algébriques §§. 7–12 (Paris 1877; Abdruck aus dem Bulletin des Sciences math. et astron. von Darboux und Hoüel, \(\text {1}^{\text {re}}\) série, t. XI, et \(\text {2}^{\text {e}}\) série, t. I).
 
5
Vergl. §§. 71, 159.
 
6
Vergl. die Einleitung der Schrift Sur la théorie des nombres entiers algébriques.
 
Metadaten
Titel
Zerlegung in unzerlegbare Factoren. Ideale Zahlen (§ 176.)
verfasst von
Katrin Scheel
Copyright-Jahr
2020
Buch
Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen

Print ISBN: 978-3-658-30927-5

Electronic ISBN: 978-3-658-30928-2

Copyright-Jahr: 2020

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-30928-2_20

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