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2022 | OriginalPaper | Buchkapitel

6. Differentialrechnung

verfasst von : Lutz Angermann, Bernd Mulansky

Erschienen in: Grundkurs Analysis und Lineare Algebra

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden die Begriffe der Differenzierbarkeit und der Ableitung für Funktionen einer reellen oder komplexen Variablen (univariate Funktionen) eingeführt. Im Hinblick auf Funktionen mehrerer Veränderlicher geschieht dies mittels der Zerlegungsformel und dem zugehörigen Restglied. Die Charakterisierung der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten ergibt sich als Folgerung. Ferner werden praktisch wichtige Ableitungsregeln behandelt. Für reellwertige differenzierbare Funktionen wird der Mittelwertsatz der Differentialrechnung formuliert und bewiesen.
Fußnoten
1
Abbildungen dieses Typs gehören zur Klasse der sog. linearen Abbildungen, welche später in Kap. 9 noch definiert und untersucht werden.
 
2
Im praktischen Gebrauch der Symbolik aus den Definitionen 5.​60 und 5.​62 ist es üblich, wenn auch nicht korrekt, statt des Funktionsnamens die allgemeinen Funktionswerte anzugeben.
 
3
Der Fall \(X_0=\{x^*\}\) ist hierbei mit eingeschlossen, weshalb auch bei einer Funktion f,  von der nur die Differenzierbarkeit in einem Punkt \(x^*\) bekannt ist, die Bezeichnung \(f'(x^*)\) für q benutzt wird.
 
4
Hieraus ist nochmals die Eindeutigkeit von \(q=f'(x^*)\) in Definition 6.1(i) zu ersehen.
 
5
Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen (Gelesen in der Königl. Akademie der Wissenschaften am 18. Juli 1872)
 
6
Gemäß Definition 5.​3 sind die Grenzwerte \(\pm \infty \) erlaubt.
 
Metadaten
Titel
Differentialrechnung
verfasst von
Lutz Angermann
Bernd Mulansky
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-65596-2_6

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