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2018 | Buch

Grundkurs Funktionalanalysis

verfasst von: Prof. Dr. Winfried Kaballo

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

In diesem Buch finden Sie die Grundlagen der Funktionalanalysis, die im ersten Drittel des 20. Jahrhunderts entwickelt wurden.

Ausgehend von konkreten Fragen der Analysis lernen Sie Methoden zur Untersuchung linearer Operatoren zwischen Hilberträumen und Banachräumen kennen und wenden diese auf Fourier-Reihen, lineare Integral- und Differentialgleichungen und in der Quantenmechanik an.

Das Buch eignet sich hervorragend als Begleitlektüre zu einer einführenden Vorlesung über Funktionalanalysis und auch zum Selbststudium..

Es ist sehr ausführlich und leicht verständlich geschrieben, die Konzepte und Resultate werden durch zahlreiche Beispiele und Abbildungen illustriert. Anhand vieler Übungsaufgaben können Sie Ihr Verständnis des Stoffes testen, anhand anderer diesen selbstständig weiterentwickeln. Lösungen finden Sie auf der Webseite zum Buch zum Buch unter www.springer.de.

An Vorkenntnissen benötigen Sie nur "Analysis I", Grundlagen der Linearen Algebra und der Topologie metrischer Räume sowie Vertrautheit mit Lebesgue-Integralen. Bei Bedarf können Sie viele dieser Vorkenntnisse mittels des ausführlichen Anhangs auffrischen.

Für die vorliegende zweite Auflage wurde das Werk vollständig durchgesehen, um einige Themen erweitert und in der didaktischen Darstellung weiter verbessert, insbesondere durch detailliertere Ausarbeitungen vieler Argumente.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Banachräume und lineare Operatoren

Frontmatter

1. Banachräume

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden Banachräume, d. h. vollständige normierte Räume, vorgestellt; stetige lineare Operatoren zwischen Banachräumen folgen ab Kap. 3. Die Untersuchung dieser für die Funktionalanalysis grundlegenden Konzepte erfolgt durch ein Zusammenspiel algebraischer und analytischer Methoden.

Winfried Kaballo

2. Kompakte Mengen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel bestimmen wir die kompakten Teilmengen des Banachraums C(K) der stetigen Funktionen auf einem kompakten metrischen Raum K (Satz von Arzelà-Ascoli 1883) und beweisen auch die Separabilität dieses Raumes.

Winfried Kaballo

3. Lineare Operatoren

Zusammenfassung

In diesem Kapitel stellen wir stetige oder beschränkte lineare Operatoren zwischen normierten Räumen vor und behandeln erste wichtige Beispiele, insbesondere Integral- und Differentialoperatoren.

Winfried Kaballo

4. Kleine Störungen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel behandeln wir lineare und auch nichtlineare kleine Störungen der Identität oder eines invertierbaren Operators; die Resultate beruhen auf der Neumannschen Reihe im linearen Fall und dem Banachschen Fixpunktsatz im nichtlinearen Fall.

Winfried Kaballo

Fourier-Reihen und Hilberträume

Frontmatter

5. Fourier-Reihen und Approximationssätze

Zusammenfassung

In diesem Kapitel untersuchen wir u. a. die Entwicklung periodischer Funktionen in Fourier-Reihen. Diese wurden im ersten Drittel des 19. Jahrhunderts von J.B.J. Fourier in Verbindung mit seinen Untersuchungen zur Wärmeleitung eingeführt.

Winfried Kaballo

6. Hilberträume

Zusammenfassung

Hilberträume sind spezielle Banachräume, deren Norm durch ein Skalarprodukt induziert wird. Vektoren in Hilberträumen besitzen Fourier-Entwicklungen nach Orthonormalbasen.

Winfried Kaballo

7. Lineare Operatoren auf Hilberträumen

Zusammenfassung

Thema dieses Kapitels sind beschränkte lineare Operatoren zwischen Hilberträumen. Wir konstruieren orthogonale Projektionen und adjungierte Operatoren und untersuchen insbesondere selbstadjungierte Operatoren.

Winfried Kaballo

Prinzipien der Funktionalanalysis

Frontmatter

8. Konsequenzen der Vollständigkeit

Zusammenfassung

In diesem Kapitel behandeln wir zwei grundlegende Prinzipien der Funktionalanalysis, die auf dem Satz von Baire beruhen.

Winfried Kaballo

9. Stetige lineare Funktionale

Zusammenfassung

In diesem Kapitel behandeln wir ein weiteres grundlegendes Prinzip der Funktionalanalysis, den Fortsetzungssatz von Hahn-Banach. Dieser besagt, dass ein stetiges lineares Funktional auf einem Unterraum eines normierten Raumes unter Erhaltung seiner Norm auf den ganzen Raum fortgesetzt werden kann.

Winfried Kaballo

10. Schwache Konvergenz

Zusammenfassung

In reflexiven Banachräumen gilt die folgende Version des Satzes von Bolzano-Weierstraß: Jede beschränkte Folge besitzt eine schwach konvergente Teilfolge.

Winfried Kaballo

Spektraltheorie kompakter und selbstadjungierter Operatoren

Frontmatter

11. Fredholmoperatoren und kompakte Störungen

Zusammenfassung

Kleine Störungen der Identität oder invertierbarer Operatoren haben wir bereits in Kap. 4 behandelt; in diesem Kapitel untersuchen wir nun kompakte Störungen. Ein kompakter linearer Operator S Є K(X, Y) zwischen Banachräumen X, Y kann eine beliebig große Norm haben, bildet jedoch beschränkte Mengen in relativ kompakte Mengen ab.

Winfried Kaballo

12. Spektralzerlegungen

Zusammenfassung

Ein wichtiges Ergebnis der Linearen Algebra besagt, dass normale Matrizen über C mittels unitärer Transformationen diagonalisiert werden können. In diesem Kapitel erweitern wir dieses Resultat auf kompakte normale Operatoren auf Hilberträumen.

Winfried Kaballo

13. Unbeschränkte Operatoren

Zusammenfassung

In diesem letzten Kapitel des Buches stellen wir unbeschränkte lineare Operatoren, speziell selbstadjungierte Operatoren in Hilberträumen vor.

Winfried Kaballo

Backmatter

Titel: Grundkurs Funktionalanalysis
verfasst von: Prof. Dr. Winfried Kaballo
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-54748-9
Print ISBN: 978-3-662-54747-2
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-54748-9