Integralgleichungen

Eine spezielle Integralgleichung ist aus der Analyse gewöhnlicher Differentialgleichungen wohlbekannt. Das Anfangswertproblem wird durch Integration von x _o bis x in die Form gebracht, da die Integraldarstellung (2) für den Beweis der Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung der Differentialgleichung (1) besser geeignet ist.

Wie schon die Gleichungen (1.1.1–2) zeigen, gibt es eine enge Verwandschaft zwischen gewöhnlichen Differentialgleichungen und Volterraschen Integralgleichungen. Zunächst wird die eindeutige Lösbarkeit, dann in §2.1.2 die Regulärität der Lösung untersucht.

Erik Ivar Fredholm (Stockholm) untersuchte die nach ihm benannten Gleichungen schon in den letzten Jahren des vorigen Jahrhunderts. Tiber Hilbert wurden die Integralgleichungen zur Keimzelle der Funktionalanalysis, die zu Anfang dieses Jahrhunderts Gestalt annahm.

In §§4.4.2–5 und §4.4.7 werden wir verschiedene Möglichkeiten zur Konstruktion von K _n kennenlernen. Die allgemeinen Eigenschaften solcher Approximationen werden in diesem Unterkapitel untersucht.

Von Abel (1823) stammt die Volterra-Integralgleichung (1) 1. Art: Equation ID=EquaEquationNumber6.1.1EquationNumberEquationSource Format=MATHTYPE![CDATA[% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4zaiaacI % cacaWG4bGaaiykaiabg2da9maapehabaWaaSaaaeaacaWGMbGaaiik % aiaadMhacaGGPaaabaWaaOaaaeaacaWG4bGaeyOeI0IaamyEaaWcbe % aaaaGccaWGKbGaamyEaaWcbaGaamyyaaqaaiaadIhaa0Gaey4kIipa % kiaaykW7caWGMbGaami-aiaadkhacaaMc8UaamiEaiabgwMiZkaadg % gaaaa!50FA!]]EquationSourceEquationSource Format=TEX![CDATA[$$[g(x) = intlimits_a^x {frac{{f(y)}}{{sqrt {x - y} }}dy} ,fu r,x geqslant a]$$]]EquationSourceEquation

Die Funktion f sei auf I= [a,b] definiert und möglicherweise in einem inneren Punkt c ε (a, b) singulär. Das uneigentliche Integral wurde durch definiert, falls beide Limites existieren (vgl. §6.1.3). Nach Bemerkung 6.1.2a ist das uneigentliche Integral für f(x):=|x−c| ^s mit s>−1 erklärt.

Als Integralgleichungsmethode bezeichnet man die Überführung von partiellen Differentialgleichungen mit d Raumvariablen in eine Integralgleichung über einer (d-1)-dimensionalen Oberfläche. Schon in §7.4 wurde die Methode anhand der Laplace-Gleichung vorgestellt. Dort wurden die Resultate über den singulären Cauchy-Kern herangezogen, um Integralgleichungsformulierungen für die Laplace-Gleichung (7.4.1a) zu finden. Die Laplace-Gleichung scheint nach diesem Zugang wegen des Zusammenhanges mit den holomorphen Funktionen eine Sonderstellung einzunehmen (vgl. Bemerkung 1.1). Offen bleibt die Frage nach der Möglichkeit, auch andere Gleichungen zu behandeln. Die Integralgleichungs- oder Randintegralmethode hat gerade die umgekehrte Blickrichtung. Ausgehend von einer Differentialgleichung Lu = 0 mit geeigneten Randbedingungen sucht man eine äquivalente Formulierung als Integralgleichung. Die numerische Behandlung der entstehenden Integralgleichung findet sich unter dem Titel «Randelementmethode» in §9.

Randwertprobleme, wie die in §8 behandelten Laplace-, Helmholtz-, biharmonische, Lamé- bzw. Stokes-Gleichungen, lassen sich in ihrem ursprünglichen Definitionsbereich durch verschiedene Diskretisierungsverfahren approximieren. Neben den (finiten) Differenzenverfahren gibt es insbesondere die Finite-Element-Methoden. die oft mit dem Kürzel «FEM» bezeichnet wird (vgl. Hackbusch [2]).