Kontinuums- und Kontaktmechanik

Die Kontinuumsmechanik beschäftigt sich mit den Bewegungen materieller Körper in Raum und Zeit und den Ursachen für diese Bewegungen.

Diese Einführung beruht im wesentlichen auf der ausführlichen Darstellung von Ericksen [138] und der Zusammenstellung in Riemer [390], aus der die Notation übernommen wurde. Weitere Lehrbüchern zum Thema sind zum Beispiel Bowen/Wang [62, 63] Betten [45], Klingbeil [247], McConnell [297] und Trostel [456, 457]. Auch die meisten Lehrbücher der Kontinuumsmechanik geben eine kurze Einführung in das Thema, hier wurden besonders die Werke von Altenbach/Altenbach [9], Eschenauer/Schnell [142] und Malvern [294] zu Rate gezogen.

Unter Kinematik wird die geometrische Beschreibung der Bewegungen materieller Körper verstanden. Diese Bewegungen schließen sowohl Starrkörperbewegungen, also Translation und Rotation des Körpers ohne eine relative Bewegung seiner Punkte zueinander, als auch Verformungen des Körpers ein, die immer mit relativen Lageänderungen der Körperpunkte zueinander verbunden sind.

In den vorangegangenen Kapiteln wurden die kinematischen und kinetischen Größen unabhängig voneinander eingeführt. Bilanzgleichungen stellen nun die Beziehungen zwischen diesen Größen her. Die Bilanzgleichungen beschreiben dabei allgemeingültige Prinzipe bzw. universelle Naturgesetze, die unabhängig von speziellen Kontinuumseigenschaften sind. Sie stellen jedoch den Rahmen zur Formulierung von speziellen Materialgleichungen dar.

Wie im letzten Kapitel gezeigt wurde, reichen die bis jetzt diskutierten Beziehungen im allgemeinen nicht aus, um das Verhalten eines Körpers vollständig zu beschreiben. Es fehlen also noch eine Reihe von Gleichungen, um die Beschreibung zu vervollständigen.

In diesem Kapitel sollen noch einmal die Grundgleichungen der linearen Thermoelastizität zusammengestellt werden. Da sich nahezu alle Bücher zur Kontinuumsmechanik und technischen Mechanik mit der linearen Theorie beschäftigen, kann aus der überwältigenden Fülle nur eine kleine Auswahl genannt werden: den Hartog [113], Eschenauer und Schnell [142], Gould [177], Leipholz [275, 276], Little [283], Long [284], Love [285], Malvern [294], Southwell [437] und Timoshenko und Goodier [453]. Die Wärmeleitung wird ausgiebig von Widder [490] untersucht. Speziell mit dem thermo elastischen Verhalten beschäftigten sich Boley und Weiner [55], Gatewood [158], Parkus [365] und Ziegler [529]. Einen guten Überblick über die lineare Elastizität inklusive thermischer Effekte gibt auch der Artikel von Sneddon und Berry [435] im Handbuch der Physik.

Nachdem in den vorangegangenen Kapiteln die synthetische Kontinuumsmechanik, zumindest in ihren Grundzügen, abgehandelt wurde, könnte man die Darstellung beenden. Durch die Angabe der Bilanzgleichung in Verbindung mit geeigneten Materialgesetzen ist das Kontinuum hinreichend beschrieben, und die meisten Lehrbücher zur Kontinuumsmechanik enden daher auch an diesem Punkt. Jedoch ist es mit dem Aufstellen der Bilanzgleichungen nicht getan; diese müssen auch gelöst werden, und das gestaltet sich schon bei relativ einfachen Aufgabenstellung schwierig. Für beliebige Gebiete mit beliebigen Randbedingungen und im Falle von Nichtlinearitäten ist die geschlossene direkte Lösung der Differentialgleichungen praktisch unmöglich.

Im folgenden sollen die Grundlagen der Variationsrechnung zusammengestellt werden.

Wie bereits in Kapitel 8 ausgeführt, stellt die integrale Formulierung als Variationsfunktional einen günstigen Ausgangspunkt für die Entwicklung von Näherungsverfahren dar [312]. Im folgenden soll daher ein kurzer Überblick über verschiedene Verfahren gegeben werden. Direkten Gebrauch von der Variationsformulierung machen das Ritzsche Verfahren (Abschnitt 11.1), sowie das Galerkinsche Verfahren (Abschnitt 11.2), wobei das letztere aber auch als ein Speziallfall der Methode der gewichteten Residuen (Abschnitt 11.3) aufgefaßt werden kann. Diese Methode ist nicht an die Existenz eines Variationsfunktionals gebunden und somit allgemein einsetzbar.

Die Variationsrechnung soll in den nächsten Kapiteln dazu benutzt werden, die Grundgleichungen der synthetischen Kontinuumsmechanik aus analytischen Prinzipien abzuleiten. Um deutlich zu machen, unter welchen Umständen diese Ableitung möglich ist, sollen hier am einfachen Beispiel der Bewegung eines Massenpunktes einige Ergebnisse vorab bereitgestellt werden.

Analog zum Prinzip von d’Alembert in der Lagrangeschen Fassung für die Punktmasse lassen sich auch variationelle Prinzipe für den Starrkörper und das deformierbare Kontinuum angeben. Dabei kann im Falle des rein mechanischen Problems auch hier das Prinzip der virtuellen Arbeit nach Satz 12.1 als Ausgangspunkt verwendet werden.

Unter bestimmten Voraussetzungen läßt sich das variationelle Prinzip der virtuellen Arbeiten aus einem echten Variationsprinzip ableiten, wie am Beispiel des Hamiltonschen Prinzips der Punktmechanik in Abschnitt 12.2 bereits demonstriert wurde. Im Kontext der Kontinuumsmechanik existiert dabei eine Vielzahl von verschiedenen Formulierungen, die unterschiedliche Rand- und Zusatzbedingungen besitzen. Im folgenden soll der Zusammenhang der verschiedenen Prinzipe deutlich gemacht werden, die systematisch durch die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren ineinander überführt werden können.

Die im vorherigen Kapitel vorgestellten Variationsprinzipe für die lineare Elastostatik sollen nun auf die finite Elastizität erweitert werden. Ausgangspunkt ist wieder das Prinzip der virtuellen Verschiebungen, aus dem das Prinzip vom Stationärwert der potentiellen Energie abgeleitet wird (Abschnitt 15.1). Die Angabe eines Minimumprinzips ist jedoch nicht möglich. Stattdessen liefert die Untersuchung der zweiten Variation nun eine Aussage über die Stabilität der Gleichgewichtslage (Abschnitt 15.2).

Um zu einer Potentialformulierung für den dynamischen Fall zu gelangen, ist es nötig, auch die virtuelle Arbeit der Trägheitskräfte aus einem Potential ableiten zu können. Dies gelingt nach einer Integration des Prinzips von Lagrange-d’ Alembert über die Zeit, entsprechend dem Vorgehen in Abschnitt 12.2. Man erhält dann das verallgemeinerte Prinzip von Kirchhoff-Hamilton (Abschnitt 16.1). Einführen von Potentialeigenschaften für die Spannungen und äußeren Lasten liefert dann das Hamiltonsche Prinzip für konservative Systeme, das sich analog zu den Prinzipen der Statik von Nebenbedingungen befreien läßt (Abschnitt 16.2). Die Angabe eines Variationsprinzips, das als Euler-Lagrangesche Gleichung die parabolische Wärmeleitungsgleichung liefert, ist nicht ohne weiteres möglich; jedoch läßt sich die thermische Energiebilanz aus einem Prinzip für die Wärmeleitung gewinnen (Abschnitt 16.3).

In der Kontinuumsmechanik treten bei manchen Vorgängen in ansonsten stetigen Feldern lokale Unstetigkeiten bestimmter Größen auf. Die Orte der Unstetigkeit bilden dabei eine Fläche s _q in der Momentankonfiguration des Körpers, die als Unstetigkeitsfläche, Diskontinuitätsfläche oder singuläre Fläche bezeichnet wird. Wie man am typischen Beispiel von Verdichtungsstößen sieht, muß eine singuläre Fläche keine materielle Fläche sein. Da sich die Fläche im allgemeinen unabhängig von den materiellen Punkten bewegen kann, ist ein Materietransport durch die Fläche möglich. Dies muß insbesonders bei der Formulierung von Bilanzgleichungen berücksichtigt werden, siehe zum Beispiel Fisher und Leitmann [150], Gurtin und Murdoch [194, 195], Murdoch [326], Riemer [390], Truesdell und Toupin [463], sowie die Arbeit von Moeckel [315], auf die sich die folgenden Ausführungen hauptsächlich stützen. Diese gliedern sich in eine Beschreibung der Kinematik in Abschnitt 18.1 und die Betrachtung der allgemeinen Bilanzgleichung für ein System mit einer singulären Fläche in Abschnitt 18.2. Aus dieser werden dann sowohl die Bilanzgleichungen für das Volumen (Abschnitt 18.3) als auch für die Bilanzgleichungen für die singuläre Fläche (Abschnitt 18.4) abgeleitet.

Es soll im folgenden der thermomechanische unilaterale Kontakt zweier Körper beschrieben werden, womit die separierbare Berührung zweier Körper und die Übertragung von Kräften und Wärme über die gemeinsame Kontaktfläche gemeint ist.

In Kapitel 6 wurden mit Hilfe der Entropiebilanz für das Kontinuum gewisse Restriktionen für die Formulierung von Stoffgesetzen angegeben. Entsprechend diesem Vorgehen können nun auch für die Kontaktfläche aufgrund der Entropiebilanz gewisse Restriktionen für die konstitutiven Kontaktgesetze angegeben werden.

Die im letzten Kapitel angegebenen Beziehungen für den Kontakt sollen nun in eine analytische Beschreibung überführt werden. Dazu wird zuerst in Abschnitt 21.1 die Variation der kinematischen Größen durchgeführt, um diese für die folgenden Betrachtungen parat zu haben. Der nächste Abschnitt 21.2 behandelt dann die variationelle Formulierung der mechanischen Kontaktbedingungen. Die spezielle Form der Bedingungen führt dabei auf Variationsungleichungen. Da sich diese aber nur schwierig behandeln lassen, werden sie meist durch eine Regularisierung oder durch eine Active-Set-Strategie (Abschnitt 21.3) wieder auf Variationsgleichungen zurückgeführt.

Diskretisierungsverfahren sind Näherungsverfahren zur Lösung von Differentialgleichungen, bei denen anstelle der exakten, kontinuierlichen Lösung nur noch eine Lösung an diskreten Punkten gesucht wird. Damit ergibt sich eine Reduktion des unendlich-dimensionalen Lösungsraumes auf einen endlichdimensionalen.

Da sich die Methode der finiten Elemente inzwischen in allen Bereichen der Ingenieurwissenschaften durchgesetzt hat, ist die Zahl an Veröffentlichungen entsprechend groß und eine umfassende Darstellung ist schon aufgrund der Fülle des verfügbaren Materials nahezu aussichtslos. In den folgenden Abschnitten soll daher nur ein kurzer Überblick über die Grundidee der Methode der finiten Elemente gegeben werden. Dabei sollen der prinzipielle Ablauf und die wichtigsten Schritte erläutert werden, ohne auf Details wie zum Beispiel die numerische Implementierung oder Formulierungen für spezielle Elementtypen einzugehen. Die für eine Behandlung des thermomechanischen Kontaktproblems wichtigen Schritte werden ohnehin in den folgenden Kapiteln noch ausführlich behandelt, so daß hier eine Beschränkung auf das wesentliche angezeigt ist. Für eine grundlegende Einführung in die Methode der finiten Elemente und weitergehende Informationen wird stattdessen auf die einschlägige Literatur verwiesen, von der hier eine Auswahl als Startpunkt für das weitergehende Studium zitiert wird.

Im allgemeinen Fall des nichtlinearen, dynamischen Problems ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit zu lösen. Dies soll mit Hilfe einer impliziten Zeitschrittintegration für das nichtlineare Problem entsprechend dem bereits in Abschnitt 23.5 angesprochenen Newmark-Verfahren geschehen.

Nachdem die Inkrementierung des jeweiligen Differentialgleichungssystems durchgeführt wurde, müssen die Korrektorinkremente Δ _Pi entsprechend den Ausführungen in Abschnitt 23.4 nun so bestimmt werden, daß die zugrundeliegenden Differentialgleichungen hinreichend genau erfüllt werden. Dies geschieht vorteilhaft mit Hilfe der jeweiligen schwachen Form. Diese ist im Falle des rein mechanischen Problems durch (13.17), des rein thermischen Problems durch (13.35) und des gekoppelten Problems durch (13.38) gegeben, wobei noch die entsprechenden Rand- und Anfangsbedingungen, sowie gewisse Forderungen an die Wichtungsfunktionen bzw. virtuellen Größen zu stellen sind.

Die Behandlung des Kontaktproblems mit der Methode der finiten Elemente begann Anfang der siebziger Jahre des letzten Jahrhunderts mit den Arbeiten von Wilson und Parsons [499], sowie Chan und Tuba [76] zum reibungsfreien Kontakt. Darauf aufbauend sind dann eine Vielzahl von Arbeiten entstanden, von denen hier nur eine kleine Auswahl genannt werden kann, zum Beispiel Bathe und Chaudhary [34], Belytschko und Neal [39], Böhm [54], Chaudhary [79], Eterovic und Bathe [143], Hughes et al. [225], Idelberger [231], Pascoe und Mottershead [318, 368], Vu Van [476] und Wriggers [502]. Ende der achtziger Jahre trat der reibungsbehaftete Kontakt in den Vordergrund, wie die Arbeiten von Chen et al. [81, 82, 83], Giannokopoulos [172] Ibrahimbegovic und Wilson [230] Laursen und Oancea [270] Laursen und Simo [271, 272], Sachdeva und Ramakrishan [403], Taylor und Papadopoulos [363, 448], sowie Torstenfelt83 [455] zeigen. Das thermomechanische Kontaktproblem wurde schließlich im Laufe der neunziger Jahre zum Beispiel von Agelet de Saracibar [3], Oancea und Laursen [339], Wriggers und Miehe [509, 511, 510, 512], Wriggers und Zavarise [519, 518], sowie Zavarise et al. [524, 525] untersucht. Die Entwicklung von Verfahren zur Behandlung von Kontakt im Rahmen der Methode der finiten Elemente hat damit einen gewissen Abschluß gefunden, wie die Übersichtsartikel von Wriggers [505, 506] und Agelet de Saracibar [4], sowie das Buch von Zhong [527] demonstrieren.

Dieses letzte Kapitel zeigt einige Beispiel für die Berechnung thermoelastischer Kontinuums- und Kontaktprobleme mit der Methode der finiten Elemente. Die Beispiele sind bewußt relativ einfach gehalten, um die verschiedenen Effekte klar und leicht nachvollziehbar herauszuarbeiten. In vielen Fällen sind auch analytische Vergleichslösungen oder zumindest Abschätzungen angegeben, die eine Überprüfung der numerisch ermittelten Lösungen ermöglichen.