Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker

Dieses Buch handelt von Verfahren zur zahlenmäßigen Lösung bestimmter mathematischer Grundaufgaben — umrissen etwa durch die Kapitelüberschriften —, wie sie immer wieder in technischen und physikalischen Anwendungen auftreten und so auch dem rechnenden Ingenieur in seiner Berufsarbeit begegnen. Praktische Mathematik und Technik stehen seit jeher in engster Wechselwirkung. So wie jene immer aufs neue von den oft sehr anspruchsvollen Forderungen der modernen Technik Anregung und Auftrag erhält, so ermöglichen umgekehrt erst die Methoden der praktischen Mathematik die Inangriffnahme vieler technischer Aufgaben. Die Kenntnis dieser Methoden gehört daher heute zur Ingenieurausbildung so gut wie die Kenntnis moderner technischer und physikalischer Vorgehensweisen.

Die Aufgabe der Gleichungsauflösung ist uns von der Schule her bekannt, wo insbesondere quadratische Gleichungen ausführlich behandelt werden. Wir erinnern uns, daß für eine solche Gleichung in der Form die Lösungen nach der leicht herleitbaren Auflösungsformel unmittelbar angeschrieben werden können. Es existieren im allgemeinen zwei durch das Vorzeichen der Quadratwurzel unterschiedene Lösungen, zwei „Wurzeln“ der Gleichung, wie man sagt, welche aber (bei negativem Radikanden) komplex werden oder (bei Nullwerden des Radikanden) zu einer „Doppelwurzel“ zusammenfallen können.

Zahllose Anwendungen aus Physik und Technik führen auf mehr oder weniger umfangreiche Systeme linearer Gleichungen, deren numerische Auflösung deshalb von jeher als eine wichtige Aufgabe der praktischen Mathematik gilt. Lineare Gleichungen begegnen dem Ingenieur in der Statik bei der Behandlung statisch unbestimmter Aufgaben, in der Elektrotechnik beim Berechnen von Netzen, in der Schwingungstechnik bei der Ermittlung von Eigenfrequenzen und Schwingungsformen diskreter oder kontinuierlicher Systeme. Auf lineare Gleichungssysteme führen zahlreiche Näherungsverfahren zur numerischen Behandlung von Rand- und Eigenwertaufgaben, wie im VII. Kapitel gezeigt wird. Selbst für betriebswirtschaftliche Fragen spielen neuerdings große lineare Gleichungssysteme eine wichtige Rolle (Problem des “linear programming”).

Die Statistik als Zweig der angewandten Mathematik ist die Wissenschaft von Ereignissen, die vom Zufall abhängen. Diese spielen eine entscheidende Rolle bei allen Massenerscheinungen, insbesondere in der modernen Technik und Wirtschaft bei der Erzeugung von Massengütern aller Art, sei es bei industrieller Massenfertigung oder auf land- und forstwirtschaftlichem Gebiet. Sie erobern sich wichtige Zweige der Verkehrs-, Nachrichten- und Versorgungstechnik. Sie interessieren daher in steigendem Maße auch den Ingenieur, der sich mit diesem reizvollen Gebiet der angewandten Mathematik mehr als bisher vertraut machen sollte. Die folgenden Seiten können nur eine kurze Einführung in die wichtigsten Fragestellungen und Methoden geben und sollen dazu dienen, zu einem vertieften Studium statistischer Fragen anzuregen^1,2.

In diesem V. Kapitel beschäftigen wir uns mit der Aufgabe der Approximation einer ihrem kontinuierlichen Verlauf nach — nicht nur in diskreten Punkten — exakt gegebenen Funktion durch numerisch einfacher zu handhabende Ersatzfunktionen. Über einem festen endlichen Intervall [a, b] der x-Achse¹ soll die daselbst gegebene Funktion f(x) durch eine Approximationsfunktion F(x) in einem gewissen noch näher zu bezeichnenden Sinne angenähert werden. Die ihrer Form nach gewählte Funktion F(x) enthält dabei eine Anzahl noch freier Parameter a ₀, a ₁, . . ., a _n : die so zu bestimmen sind, daß gewisse noch anzugebende Approximationsforderungen erfüllt werden.

Unter einer Differentialgleichung — und zwar einer gewöhnlichen im Gegensatz zu partiellen, von denen hier nicht die Rede sein soll — versteht man, wie dem Leser aus der mathematischen Grundvorlesung her erinnerlich sein mag, eine Beziehung zwischen einer unabhängigen Veränderlichen x, einer davon abhängigen Veränderlichen y = y(x) und Ableitungen y′, y″, ... . Je nach der Ordnung der höchsten vorkommenden Ableitung hat man es mit einer Differentialgleichung erster, zweiter, ... Ordnung zu tun. Beispiele für Differentialgleichungen erster Ordnung sind Beispiele für Gleichungen zweiter Ordnung:

Bei Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung tritt außer den bisher behandelten Anfangswertaufgaben noch eine andere Aufgabenstellung auf, nämlich die der Randwertaufgaben sowie der damit aufs engste zusammenhängenden Eigenwertaufgaben. Wir betrachten etwa eine Differentialgleichung zweiter Ordnung Während nun bei den Anfangswertaufgaben die fragliche Lösungsfunktion y(x) aus der allgemeinen Lösung durch Wahl zweier Anfangsbedingungen y = y ₀ , y′ = y′₀ für x = x ₀, also durch Anfangsordinate und Anfangssteigung an einer Anfangsstelle x ₀ festgelegt wird, geschieht dies bei einer Randwertaufgabe durch zwei Bedingungen an zwei getrennten Stellen, durch sogenannte Randbedingungen an zwei Randstellen x = a und x = b, wobei die Lösung y(x) dann in der Regel auch nur in dem von den Rändern eingeschlossenen Gebiet a ≦ x ≦ b bestimmter (endlicher oder auch wohl unendlicher) Länge interessiert. Im einfachsten Falle hat man die Randbedingungen man fordert also Anfangs- und Endordinate der Lösung y(x) im Intervall (a, b), Abb. 28.1. An Stelle der Randordinaten (sogenannte erste Randwertaufgabe) lassen sich auch die Randsteigungen y′(a), y′(b) fordern (zweite Randwertaufgabe) oder schließlich eine Linearkombination zwischen Ordinaten und Steigungen (dritte Randwertaufgabe). Alle diese Aufgaben oder auch ihre Kombinationen treten in den Anwendungen auf.