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2016 | OriginalPaper | Buchkapitel

6. Die prime Restklassengruppe

verfasst von : Janko Boehm

Erschienen in: Grundlagen der Algebra und Zahlentheorie

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Excerpt

Die Restklassen modulo \(n \in \mathbb{Z}\)
$$\displaystyle{\overline{a} = a + n\mathbb{Z} = \left \{a + nk\mid k \in \mathbb{Z}\right \}}$$
bilden einen Ring
$$\displaystyle{\mathbb{Z}/n = \left \{\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{n - 1}\right \}}$$
mit repräsentantenweiser Addition und Multiplikation
$$\displaystyle{\begin{array}{lll} \overline{a} + \overline{b} = \overline{a + b}&&\quad \overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{a \cdot b} \end{array} }$$
(wie wir schon in Abschn. 4.​3 gesehen haben). Die Menge der Restklassen ungleich 0 ist aber im Allgemeinen keine Gruppe bezüglich der Multiplikation: Beispielsweise gilt in \(\mathbb{Z}/8\), dass
$$\displaystyle{\overline{2} \cdot \overline{4} = \overline{0}}$$
und damit auch
$$\displaystyle{\overline{6} \cdot \overline{4} = \overline{0}.}$$
Dagegen sind \(\overline{1},\overline{3},\overline{5},\overline{7}\) Einheiten (das heißt bezüglich ⋅ invertierbar), denn
$$\displaystyle{\begin{array}{l@{}l@{}l@{}l@{}l@{}ll} \overline{1} \cdot \overline{1} = \overline{1}&&\quad \overline{3} \cdot \overline{3} = \overline{1}&&\quad \overline{5} \cdot \overline{5} = \overline{1}&&\quad \overline{7} \cdot \overline{7} = \overline{1} \end{array} \ }$$
(siehe auch Übungsaufgabe 4.2). Tatsächlich ist jedes Element von \(\mathbb{Z}/n\) entweder ein Nullteiler oder eine Einheit (siehe Übungsaufgabe 4.5). …

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Fußnoten
1
Als weiterführende Literatur zum Miller-Rabin-Test siehe z. B. [30, Satz 11.14] oder [8, Sec. 3.5]. Siehe [8] auch für eine umfassende Darstellung von algorithmischen Methoden für Primzahlen.
 
2
Kontext dazu findet sich in [8, Sec. 3.4], der anspruchsvolle Originalbeweis in [1].
 
3
Als weiterführende Literatur mit einem Beweis siehe z. B. [16, Anhang].
 
4
Für einen Beweis siehe z. B. [36, Satz 8.6].
 
Literatur
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G. Strohth: Algebra: Einführung in die Galoistheorie, de Gruyter (2014).
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J. Wolfart: Einführung in die Algebra und Zahlentheorie, Vieweg+Teubner (2011).CrossRef
42.
Metadaten
Titel
Die prime Restklassengruppe
verfasst von
Janko Boehm
Copyright-Jahr
2016
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Grundlagen der Algebra und Zahlentheorie

Print ISBN: 978-3-662-45228-8

Electronic ISBN: 978-3-662-45229-5

Copyright-Jahr: 2016

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-45229-5_6