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Über dieses Buch

Die dritte Auflage dieses gut eingeführten Standardwerkes gibt einen Gesamtüberblick über die Mathematik für Studierende der Physik. Es macht die angehenden Physikerinnen und Physiker mit den für sie wichtigsten mathematischen Konzepten vertraut und vermittelt damit möglichst schnell eine entsprechende Geläufigkeit in ihrer Anwendung. Die Methoden der Mathematik werden aus der physikalischen Sichtweise und mit dem Blick auf Anwendungen dargestellt. Auf mathematisch exakte Weise wird der Fokus auf Methodik und Beispiele gelegt, wobei zu Gunsten der Verständlichkeit und Übersicht auf viele Beweise verzichtet wird.

Auch der gängige Einsatz von Computern in der Physik wird durch Einschübe berücksichtigt, in denen sowohl auf Numerik wie auch auf algebraische Methoden eingegangen wird.

Durch die Erläuterung anhand von Beispielaufgaben ist das Buch auch für das Selbststudium gut geeignet. Viele Übungsaufgaben, deren vollständige Lösungswege über das Internet abfragbar sind, regen dazu an, das Gelernte zu überprüfen und dabei das Verständnis zu vertiefen. Als Vorlesungsunterlage entspricht das Buch einer dreisemestrigen Vorlesung mit Übungen.

Das vorliegende Buch richtet sich primär an Studierende der Physik in den ersten Semestern, aber auch andere Naturwissenschaftler werden mit diesem Buch einen nützlichen Helfer zur Hand haben!

In der dritten Auflage wurden die Grafiken und der Text überarbeitet und zum Teil erweitert, um die Verständlichkeit zu erhöhen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Unendliche Reihen

Wir wollen keine Ausnahme machen und den Abschnitt über unendliche Reihen und Folgen wie üblich mit dem Zenoschen Paradoxon beginnen: Kann Achill die Schildkröte je überholen?
Die Situation ist bekanntlich die folgende: Der berühmte Held Achill läuft pro Sekunde 9 m, die (offenbar ziemlich schnelle) Schildkröte jedoch nur 0.9 m, bekommt am Start aber einen Vorsprung von 9 m. Es geht los und in der ersten Sekunde hat Achill 9 m zurückgelegt, aber die Schildkröte hat die Zeit genutzt und ist um 0.9 m vor Achill. Dieser braucht zwar nur 0.1 Sekunde für diese Strecke, aber die Schildkröte ist inzwischen um 0.09 m vorangekommen. Dazu benötigt Achill 0.01 Sekunden, aber wieder ist die Schildkröte währenddessen weitergekommen. So geht es immer weiter, und der arme Achill kann die Schildkröte anscheinend nie einholen.
Natürlich kann da was nicht stimmen. Schon nach 1.2 s ist Achill 10.8 m vom Start entfernt, aber die Schildkröte nur 10.08 m. Achill muss die Schildkröte also bereits überholt haben. Betrachten wir doch einmal die Teilstrecken, die Achill und die Schildkröte zurücklegen.
Man hat hier Zahlenfolgen, also zum Beispiel die Folge der Teilstrecken des Achill: \((9,\,0.9,\,0.09,\,0.009,\,\ldots)\), oder die Folge der zurückgelegten Distanz \((9,\,9.9,\,9.99,\) \(9.999,\,\ldots)\). Man errät, dass vermutlich bei der Streckenmarke von 10 m Achill die Schildkröte überholt. Aber wie kann man das mathematisch richtig formulieren? Die Lösung dieses Problems bringt neue Begriffe in die Mathematik: die unendliche Folge und ihre Summe, die unendliche Reihe.
Christian B. Lang, Norbert Pucker

2. Komplexe Zahlen

Die allgemeine Lösung einer quadratischen Gleichung
$$a\,z^{2}+b\,z+c=0$$
(2.1)
für die Unbekannte z ist
$$z=-{b\over 2a}\pm{1\over 2a}\sqrt{b^{2}-4ac}\quad;$$
(2.2)
dabei wird der Ausdruck \(d=b^{2}-4ac\) Diskriminante genannt. Das heißt, die Menge der Werte für die Unbekannte z, welche die Gleichung erfüllen, besteht entweder aus einer reellen Zahl (wenn d = 0) oder aus einem Paar von zwei reellen Zahlen (wenn d > 0). Wenn allerdings die Diskriminante negativ wird, können wir im Raum der uns bisher bekannten reellen Zahlen keine Lösung finden. Um dennoch zwei Lösungen angeben zu können, erweitert man diesen Zahlenraum.
Man führt dazu eine neue Art von Zahl ein und nennt sie imaginäre Einheit
$$\mathrm{i}\quad\mbox{mit der Definition}\;\mathrm{i}^{2}\equiv-1\;.$$
(2.3)
Man kann \(\mathrm{i}\) in gewissem Sinn als die Wurzel \(+\sqrt{-1}\) betrachten oder sagen, \(\sqrt{-1}\) wird durch \(\mathrm{i}\) definiert; diese Form soll man aber vermeiden, um Missverständnissen vorzubeugen.
Christian B. Lang, Norbert Pucker

3. Vektoren und Matrizen

Ein lineares Gleichungssystem (kurz: LGS) besteht aus einem Satz von Gleichungen, die alle linear in den Unbekannten sind. Wenn es insgesamt n verschiedene Variablen gibt, dann definiert jede dieser Gleichungen eine Ebene im \(\mathbb{R}^{\scriptstyle n}\) (beziehungsweise eine Gerade, wenn es sich um den \(\mathbb{R}^{\scriptstyle 2}\) handelt). Die Menge der Punkte, die alle Gleichungen erfüllen, kann leer sein (parallele Ebenen oder Geraden), nur aus einem Punkt bestehen („die Lösung“, Punktlösung), oder eine Gerade oder auch eine Ebene im \(\mathbb{R}^{\scriptstyle n}\) sein. Die Struktur der Lösungs- oder Schnittmenge hängt von der Zahl und Art der linearen Gleichungen ab. Wir wollen allgemeine, algebraische Methoden besprechen, um diese Lösungsmengen zu identifizieren.
Wir beginnen mit dem einfachen Beispiel der beiden Gleichungen
$$\begin{array}[]{rcl}x+3\,y&\displaystyle=&\displaystyle 6\;,\\ 2\,x-y&\displaystyle=&\displaystyle 5\;.\\ \end{array}$$
(3.1)
Durch Elimination der Variablen findet man die Lösung: \(x=3,y=1\).
Wozu man Matrizen braucht und wie ein Vektorraum aussieht, darum geht es in diesem Kapitel.
Christian B. Lang, Norbert Pucker

4. Differenzialrechnung

Funktionelle Zusammenhänge sind nur in den einfachsten Fällen linear. Die Zeit, die ein Bleistift braucht, bis er am Boden aufprallt, hängt von der Höhe ab, aus der man ihn fallen lässt. Die Geschwindigkeit, mit der er ankommt, ist eine lineare Funktion der Zeit, die Zeit aber ist proportional der Quadratwurzel der Höhe. Die Umlaufdauer eines Planeten ist keine lineare Funktion des Abstands von der Sonne, der Winkel eines Pendels zur Vertikalen ist eine periodische und nichtlineare Funktion der Zeit.
Sir Isaac Newton focht einen jahrelangen Streit mit Gottfried Wilhelm Leibniz aus, wer von beiden zuerst auf die Idee kam, solche nichtlinearen Zusammenhänge rechnerisch zugänglicher zu machen. Die Fragestellung ist einfach: Wenn man eine Funktion \(y=f(x)\) für einen bestimmten Wert der Variablen x und an einem anderen Punkt \(x+\Delta x\) betrachtet, wie kann man die Änderung der Funktion abschätzen? Differenzialrechnung in mehr als einer Variablen und wie man Extremalprobleme mit Nebenbedingungen löst sind zwei der weiteren Themen dieses Abschnitts.
Christian B. Lang, Norbert Pucker

5. Integralrechnung

Integrale sind nicht nur zur Bestimmung von Strecken, Flächen und Volumen oder zur Lösung von Differenzialgleichungen von Bedeutung. Viele Naturgesetze werden am einfachsten durch Integrale und Integralgleichungen ausgedrückt. Integrale dienen zur Definition von statistischen Mittelwerten. Die Probleme bei der mathematisch korrekten Formulierung von Integralen über kompliziertere Räume, als es die reellen Zahlen sind, sind heute das wesentlichste Hindernis auf dem Weg zu einer zufrieden stellenden Formulierung der relativistischen Quantentheorie der Elementarteilchen.
Die bekannteste und einfachste Definition des Integrals ist die mit Hilfe der so genannten Stammfunktion als Umkehrung des Vorgangs der Differenziation.
Ausgehend von einer Stammfunktion, ihrer Ableitung und ihrem totalen Differenzial, definiert man das unbestimmte Integral als Umkehrung der Differenziation,
$$\int dF(x)=\int dx\;{dF(x)\over dx}=\int dx\;f(x)=F(x)+\alpha\;,\quad{}\textrm{mit}\quad{dF(x)\over dx}=f(x)\;.$$
(5.1)
Wir wählen diese Schreibweise (dem Integralzeichen folgt das Differential unmittelbar) um die Operatoreigenschaft des Integrals zu betonen. Die Funktion \(f(x)\) unter dem Integralzeichen wird Integrand genannt. Die so genannte Integrationskonstante α ist eine unbestimmte Konstante, die notwendig wird, da Funktionen, die sich nur um additive Konstanten unterscheiden, die gleiche Ableitung und das gleiche totale Differenzial \(d(F(x)+\alpha)=dF(x)\) haben.
Christian B. Lang, Norbert Pucker

6. Gewöhnliche Differenzialgleichungen

Oft sucht man eine Funktion, deren Ableitung \(f(x)\) ergibt. Man kann diesen Sachverhalt durch die Gleichung
$$\frac{dy}{dx}=f(x)$$
(6.1)
ausdrücken. Solche Gleichungen, in denen die gesuchte Funktion \(y(x)\) als Ableitung vorkommt, heißen Differenzialgleichungen. Eine gewöhnliche Differenzialgleichung enthält dabei nur eine abhängige und eine unabhängige Variable sowie deren Ableitungen. Die allgemeinste Schreibweise ist die implizite Form,
$$f(y^{(n)}(x),\,y^{(n-1)}(x),\ldots,\,y^{\prime}(x),\,y(x),\,x)=0\;.$$
(6.2)
Wir werden uns hier nur mit Differenzialgleichungen beschäftigen, bei denen es möglich ist, die höchste Ableitung explizit als Funktion der anderen Ableitungen und der Variablen x auszudrücken.
Christian B. Lang, Norbert Pucker

7. Grundlagen der Vektoranalysis

In den ersten Kapiteln haben wir Funktionen immer als Abbildungen von \(\mathbb{R}^{\scriptstyle n}\) in die reellen Zahlen betrachtet. Das ist aber nur eine Variante von vielen Möglichkeiten.
Hier und in einigen folgenden Abschnitten wird uns vor allem die Abbildung in den \(\mathbb{R}^{\scriptstyle n}\), speziell in den dreidimensionalen Vektorraum interessieren. Wir betrachten Vektoren und ihre Anwendungen in diesem Kapitel ausschließlich im \(\mathbb{R}^{\scriptstyle 3}\). Vektoren in Räumen höherer Dimension werden uns später im Rahmen der Tensorrechnung (zum Beispiel „Vierer-Vektoren“ in Kap. 10) aber auch bei allgemeinen Vektorräumen in der Funktionalanalysis (Kap. 12) beschäftigen. Wir stellen einen Vektor zunächst im kartesischen Basissystem (3.80) der Einheitsvektoren \(\mbox{\boldmath{$e$}}_{1},\mbox{\boldmath{$e$}}_{2},\mbox{\boldmath{$e$}}_{3}\) beziehungsweise \(\mbox{\boldmath{$i$}},\mbox{\boldmath{$j$}},\mbox{\boldmath{$k$}}\) dar:
$$\begin{array}[]{ll}\mbox{\boldmath{$e$}}_{1}&\displaystyle=(1,0,0)=\mbox{\boldmath{$i$}}\;,\\ \mbox{\boldmath{$e$}}_{2}&\displaystyle=(0,1,0)=\mbox{\boldmath{$j$}}\;,\\ \mbox{\boldmath{$e$}}_{3}&\displaystyle=(0,0,1)=\mbox{\boldmath{$k$}}\;.\end{array}$$
(7.1)
Die zweite Bezeichnung wird inzwischen eher selten verwendet, ist aber in älteren Texten noch verbreitet.
Christian B. Lang, Norbert Pucker

8. Basissysteme krummliniger Koordinaten

Wir haben bereits verschiedene Koordinatensysteme im \(\mathbb{R}^{\scriptstyle 3}\) verwendet:
$$\begin{array}[]{ll}x_{1},x_{2},x_{3}&\displaystyle\ldots\textrm{kartesische Koordinaten}\;,\\ \rho\;,\varphi\;,x_{3}&\displaystyle\ldots\textrm{Zylinderkoordinaten}\;,\\ r\;,\varphi\;,\vartheta&\displaystyle\ldots\textrm{Kugelkoordinaten}\;.\end{array}$$
(8.1)
Man kann sich im Prinzip beliebig viele Koordinatensysteme ausdenken. Es sind nur nicht alle gleich brauchbar. Besonders angenehme Eigenschaften haben die so genannten orthogonalen Koordinatensysteme. Um deren wesentliche Aspekte zu erläutern, schreiben wir die kartesischen Koordinaten x i als Funktionen anderer Koordinaten u i ,
$$x_{1}=x_{1}(u_{1},u_{2},u_{3})\;,\quad{}x_{2}=x_{2}(u_{1},u_{2},u_{3})\;,\quad{}x_{3}=x_{3}(u_{1},u_{2},u_{3})\;.$$
(8.2)
Dieses Gleichungssystem ist nach den u i auflösbar, wenn die Funktional- oder Jacobi-Determinante (siehe auch Abschn. 5.4.1 und Mathematik-Box 9) ungleich null ist,
$$\left|\begin{matrix}\displaystyle\frac{\partial x_{1}}{\partial u_{1}}&\displaystyle\frac{\partial x_{2}}{\partial u_{1}}&\displaystyle\frac{\partial x_{3}}{\partial u_{1}}\cr\displaystyle\frac{\partial x_{1}}{\partial u_{2}}&\displaystyle\frac{\partial x_{2}}{\partial u_{2}}&\displaystyle\frac{\partial x_{3}}{\partial u_{2}}\cr\displaystyle\frac{\partial x_{1}}{\partial u_{3}}&\displaystyle\frac{\partial x_{2}}{\partial u_{3}}&\displaystyle\frac{\partial x_{3}}{\partial u_{3}}\end{matrix}\right|={\partial(x_{1},x_{2},x_{3})\over\partial(u_{1},u_{2},u_{3})}\neq 0\;.$$
(8.3)
Mit (8.2) kann man Kurvenscharen bilden, indem man jeweils zwei der Koordinaten festhält und die dritte als variablen Kurvenparameter betrachtet, der den Kurvenverlauf beschreibt, Dadurch entstehen Koordinatenlinien (vgl. Abschn. ), die in diesem Fall durch den Raumpunkt laufen. Wenn sich diese paarweise unter einem rechten Winkel schneiden, spricht man von oder . Wenn zwei davon parallel (in dem Punkt tangential) zueinander sind, so sind zwei Zeilen der Jacobi-Determinante gleich und diese verschwindet. Dann ist die Koordinatentransformation in diesem Punkt nicht umkehrbar!
Christian B. Lang, Norbert Pucker

9. Integralsätze

Wir haben schon in Kap.  Oberflächenintegrale der Form
$${}\mkern-7.0mu\mkern-2.0mu\mathop{\mkern 7.0mu\mkern 2.0mu\intop\mkern-6.0mu\mkern-3.0mu\intop}_{S}dA\;\mbox{\boldmath{$n$}}\cdot\mbox{\boldmath{$F$}}$$
(9.1)
behandelt. Der Integrand \(\mbox{\boldmath{$n$}}\cdot\mbox{\boldmath{$F$}}\) beschreibt den senkrechten Durchsatz des Vektorfeldes durch das Flächenelement dA. Insgesamt liefert das Integral über eine geschlossene Fläche S den Nettodurchsatz von F durch das von der Fläche umschlossene Volumen V (vgl. Abschn. ).
In den zu () führenden Überlegungen haben wir einen Quader mit den Seitenflächen (entsprechend Flächendifferenzialen \(dA_{i}(i=1\ldots 6)\)) betrachtet und gesehen, dass
$$dV\,{\mbox{\boldmath{$\nabla$}}}\cdot\mbox{\boldmath{$F$}}=\sum_{i=1}^{6}dA_{i}\,\mbox{\boldmath{$n$}}_{i}\cdot\mbox{\boldmath{$F$}}$$
(9.2)
den Nettodurchfluss von F darstellt. Das von den Seitenflächen umschlossene Volumendifferenzial ist dV. Vergrößert man das Volumen, indem man einen zweiten Quader an einer Seitenfläche hinzufügt, trägt der Fluss durch die Berührungsfläche zum Nettodurchfluss nichts bei, da er ja bei einem Quader positiv und beim anderen negativ gezählt wird und sich daher aufhebt (Abb. 9.1) Wichtig sind nur die Außenflächen. Man kann sich jedes endliche Volumen V aus – vielleicht unendlich – vielen kleinen Quadern aufgebaut denken …
Christian B. Lang, Norbert Pucker

10. Elemente der Tensorrechnung

Tensoren sind Größen, mit deren Hilfe man Skalare, Vektoren und weitere Größen analoger Struktur in ein einheitliches Schema zur Beschreibung mathematischer und physikalischer Zusammenhänge einordnen kann. Tensoren sind durch ihre Transformationseigenschaften gegenüber orthogonalen Transformationen (wie etwa Drehungen) definiert. Daher ist das Thema für die Physik sehr wichtig: Was ändert sich und was ändert sich nicht, wenn man das Bezugssystem dreht?
Christian B. Lang, Norbert Pucker

11. Ein wenig Differenzialformen

Wir haben (in den Kap. –9) schon mehrmals darauf hingewiesen, dass man mit Hilfe von Differenzialformen vor allem die allgemeinen Aussagen wie zum Beispiel die Integralsätze auf eine sehr fundamentale Art darstellen kann. Hier wollen wir zumindest den Appetit für diese Betrachtungsweise anregen – das wird natürlich eher eine Vorspeise als ein 5-gängiges Mahl. Aber wir werden tolle Vereinfachungen ableiten, zum Beispiel eine gemeinsame Formulierung für die schon betrachteten Differenzialoperatoren \(\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits\), \(\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\) und \(\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits\) sowie für beide Poincaré-Lemmas und die Integralsätze! Allerdings müssen wir anfangs etwas Formalismus in Kauf nehmen, bevor wir zum „Eingemachten“ kommen.
Christian B. Lang, Norbert Pucker

12. Funktionenräume

In Kap. 3 haben wir Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum (\(\mathbb{R}^{\scriptstyle 3}\)) einfach durch Zahlentripel dargestellt,
$$\mbox{\boldmath{$a$}}=(a_{1},a_{2},a_{3})\quad\mbox{oder}\quad(a_{x},a_{y},a_{z})\;.$$
(12.1)
Diese Darstellung beruhte auf einer Vereinbarung: Wir haben ein spezielles Koordinatensystem, also in diesem Fall das kartesische System, gewählt. Der Vektor wird auf die drei Hauptrichtungen projiziert und durch die entsprechenden Komponenten dargestellt. Das kartesische Koordinatensystem ist noch dazu ein orthogonales Basissystem, jede Hauptachse steht senkrecht auf jede andere. Ein Vektor wird durch eine Summe von drei linear unabhängigen Vektoren dargestellt, die jeweils in Richtung der drei kartesischen Achsen zeigen,
$$\mbox{\boldmath{$x$}}=x_{1}\,\mbox{\boldmath{$e_{1}$}}+x_{2}\,\mbox{\boldmath{$e_{2}$}}+x_{3}\,\mbox{\boldmath{$e_{3}$}}\;.$$
(12.2)
Es ist gebräuchlich, die Basisvektoren mit der Länge 1 zu wählen und solch ein Basissystem „orthonormal“ zu nennen.
Christian B. Lang, Norbert Pucker

13. Fourierreihe

Periodische Funktionen treten in der Natur häufig auf. Von der Erdrotation über Ihren Herzschlag bis hin zu Licht und Ton, all diese sind im allgemeinsten Sinn Schwingungen, obwohl nicht immer auf den ersten Blick erkennbar. In diesen Beispielen ist die Periode jeweils eine bestimmte Zeitdauer. Wenn man aber etwa eine Temperaturverteilung auf einem Metallring beschreiben will, so ist die Periode ein Winkel oder eine Länge. Die Fourierreihe bietet eine Möglichkeit, diese periodischen Funktionen nach ihren Teilfrequenzen systematisch zu zerlegen. Die zu Grunde liegende Mathematik ist genau die im vorhergehenden Kapitel 12 beschriebene, und so kann man das hier diskutierte Verfahren auch als ausführliches Anwendungsbeispiel ansehen.
Die Zerlegung nach Frequenzen entspricht dem, was ein Prisma mit dem einfallenden Licht macht (Abb. 13.1). Der Lichtstrahl – zum Beispiel ein Sonnenstrahl – ist meist eine Überlagerung von Beiträgen verschiedenster Frequenzen. Da die Lichtbrechung beim Prisma frequenzabhängig ist, wird der Strahl „zerlegt“, der Ausfallwinkel hängt von der Frequenz des entsprechenden Anteils ab. Diese Zerlegung ist nichts anderes, als die Projektion auf die Basisvektoren des Vektorraums periodischer Funktionen in L 2; die Methode heißt Fourierzerlegung oder Fourieranalyse, die Zusammensetzung der Funktion als Summe ihrer Komponenten ist die Fouriersynthese.
Christian B. Lang, Norbert Pucker

14. Integraltransformationen

Wir haben in Kap. 12 Basissysteme in Vektorräumen besprochen. Funktionen können als Elemente so eines Raumes betrachtet werden und durch Komponenten dargestellt werden. Wie man zu verschiedenen Basissystemen kommt, wird in Kap. 16 besprochen. Wenn man eine andere Basis wählt, ändern sich natürlich auch die Komponenten. Man nennt das einen Darstellungswechsel. Eine Funktion \(f(x)\) kann statt durch die Variable x auch mittels der Fourierkoeffizienten c n dargestellt werden, also durch den Wechsel zwischen einer kontinuierlichen und einer diskreten Darstellung.
Integraltransformationen der Form
$$F(p)=T[f](p)\quad\mbox{definiert durch}\quad F(p)=\int dt\;f(t)\,K(p,t)$$
(14.1)
bewirken Darstellungswechsel zwischen kontinuierlichen Darstellungen. Hier ist der Operator T Platzhalter für die später betrachteten Transformationen. Man nennt \(F(p)\) eine Integraltransformierte von \(f(t)\).
Christian B. Lang, Norbert Pucker

15. Funktionale und Variationsrechnung

Das Integral über eine Funktion, mit dem man vielleicht eine Fläche oder Masse berechnet, aber auch die Norm einer Funktion oder das Skalarprodukt mit einer Funktion sind Beispiele für ein Funktional. Allgemein betrachtet ist ein Funktional eine Abbildung aus einem Funktionenraum in die reellen oder komplexen Zahlen,
$$\Phi:\,f\in\mathbb{X}\,\mapsto\,\Phi[f]\in\mathbb{C}\;,$$
(15.1)
also gleichsam eine Funktion auf dem Funktionenraum, wie es eben auch Funktionen auf den reellen Zahlen gibt, eine verallgemeinerte Funktion. Ein Beispiel für ein Funktional auf dem \(L^{2}(\mathbb{R})\) ist – wie schon erwähnt – ein Skalarprodukt wie etwa
$$\Phi[f]=\int_{\mathbb{R}}dx\;u(x)\,f(x)\;,$$
(15.2)
wobei u eine feste Funktion aus L 2 ist.
Man muss dabei betonen, dass nicht ein Funktionswert, sondern die gesamte Funktion f das Argument des Funktionals ist. Um diesen Unterschied klarzumachen, verwendet man die eckigen Klammern. Wenn
$$\Phi[\alpha\,f+\beta\,g]=\alpha\,\Phi[f]+\beta\,\Phi[g]$$
(15.3)
gilt, ist Φ ein lineares Funktional. Spezielle Funktionale sind die so genannten Distributionen wie etwa die Delta-Distribution, die im Abschn. 15.3 besprochen wird.
Christian B. Lang, Norbert Pucker

16. Operatoren und Eigenwerte

In den alten Landkarten von Nordafrika war südlich der bekannten Gebiete im unerforschten Bereich nur „Hic sunt leones“ vermerkt. Das könnte gut als Hinweis für den folgenden Unterabschnitt dienen. Viele der Bemerkungen können und müssen bei der Übertragung auf unendlich dimensionale Räume hinterfragt werden. Das würde Inhalt und Ziel dieses Textes sprengen. Wir beschränken uns daher meist auf die bloße Feststellung der Sachverhalte für endlich dimensionale Räume.
Matrizen sind Operatoren, die in einem endlich dimensionalen Vektorraum wirken. Wir haben in Kap. 3 über die Eigenwerte und Eigenvektoren gesprochen, die solche Matrizen haben können. Hier wollen wir uns nun davon überzeugen, dass auch Differenzialgleichungen mit Randbedingungen Operatoren in einem Vektorraum sind und dass das entsprechende Eigenwertproblem zur Lösung der Differenzialgleichung führt.
Christian B. Lang, Norbert Pucker

17. Spezielle Differenzialgleichungen

In diesem Kapitel stellen wir spezielle Differenzialgleichungen vor, wie sie in vielen Bereichen der Physik vorkommen. Sie sind alle vom Sturm-Liouville-Typ, entsprechen mit ihren Randbedingungen also einem selbstadjungierten Operator. Daher haben sie reelle Eigenwerte, und die Eigenvektoren bilden eine orthogonale Basis. All diese Differenzialgleichungen ergeben sich als Teilprobleme bei der Lösung von partiellen Differenzialgleichungen, wie sie im Kap. 18 diskutiert werden.
Jedes der zu besprechenden Sturm-Liouville-Probleme hat seine spezielle Orthogonalitätsrelation und ein dementsprechend definiertes Skalarprodukt; es ist jedes ein Beispiel für eine Basis im L 2. Die entsprechenden Polynome haben viele Gemeinsamkeiten, wie zum Beispiel die Existenz von erzeugenden Funktionen und Rekursionsbeziehungen.
Christian B. Lang, Norbert Pucker

18. Partielle Differenzialgleichungen

Unsere Welt ist nicht eindimensional, und es reicht nicht aus, ausschließlich einfache Bewegungsgleichungen zu betrachten, die nur Ableitungen nach einer Variablen – meist der Zeit – enthalten. Partielle Differenzialgleichungen (kurz: PDGen) sind Differenzialgleichungen, in denen Ableitungen nach mehreren Variablen vorkommen. Die Ordnung der PDG ist durch die Ordnung der höchsten Ableitung bestimmt. Die Dirac-Gleichung der relativistischen Quantenmechanik ist ein Beispiel für eine PDG erster Ordnung. Die Cauchy-Riemann-Relationen für Real- und Imaginärteil komplexer analytischer Funktionen sind ein Beispiel für ein System von PDGen erster Ordnung.
Während es für PDGen erster Ordnung Standardverfahren gibt, muss man bei PDGen höherer Ordnung individuell vorgehen. Die in der Physik verbreitetsten PDGen enthalten Ableitungsterme bis zur Ordnung 2 und sind in drei Kategorien einteilbar:Ihre Namen erhalten sie aufgrund der relativen Vorzeichen der Ableitungen, die an die impliziten Gleichungen der entsprechenden Kegelschnittkurven erinnern.
Christian B. Lang, Norbert Pucker

19. Funktionentheorie

Man könnte diesen Abschnitt auch „Auf der Suche nach der perfekten Funktion“ nennen. Wir werden zeigen, dass analytische Funktionen stetig, ja sogar differenzierbar sind und dass diese Eigenschaft ungeahnte Zusammenhänge zwischen den Funktionswerten bewirkt. Man kann analytische Funktionen nicht an irgendeiner Stelle einfach nur „lokal“ verändern, ohne dass es überall Auswirkungen gibt. Ja, mehr noch, aus der genauen Kenntnis einer analytischen Funktion in einem beliebig kleinen Gebiet kann man sie überall in ihrem Analytizitätsgebiet berechnen! Genug des Enthusiasmus, hier kommen die Fakten.
Komplexe Zahlen haben wir ja schon im Kap. 2 besprochen. Auch die in der Analysis bekanntesten Funktionen (Potenzen, Exponentialfunktionen und trigonometrische Funktionen) und deren Verhalten bei komplexen Argumenten wurden dort diskutiert.
Nun gibt es aber noch viel stärkere Aussagen über Funktionen mit komplexen Argumenten, die in vielen Bereichen der Naturwissenschaften sehr nützliche Anwendungen haben. Insbesondere die Forderung nach der Eindeutigkeit einer Ableitung nach der komplexen Variablen führt zu der sehr mächtigen Definition der Analytizität von Funktionen mit vielen praktischen Folgen.
Christian B. Lang, Norbert Pucker

20. Gruppen

Wir verlassen uns darauf, dass (zumindest) Naturgesetze morgen genauso gültig sind wie heute. Diese Eigenschaft ist eine Symmetrieeigenschaft, eine Invarianz der Naturgesetze unter einer Verschiebung der Zeit. Ähnliches gilt für Verschiebungen des Koordinatenursprungs, sofern nicht eine ausdrückliche Ortsabhängigkeit gegeben ist: Die Stärke der Schwerkraft auf der Erde ist von der am Mond verschieden, das Gravitationsgesetz aber ist dasselbe. Ein Experiment in Graz sollte dasselbe Ergebnis wie eines in Aachen liefern, wenn die ortsabhängigen Parameter vernachlässigbar sind oder geeignet berücksichtigt wurden. All diese Symmetrien kann man durch mathematische Gruppen beschreiben. Die besprochenen Verschiebungen und Drehungen sind dabei die Symmetrieoperationen oder Gruppenelemente.
Einfache Beispiele für Gruppen sind:Abstrakt formuliert: Eine Gruppe G ist eine (nichtleere) Menge von Elementen, für die eine Verknüpfung mit bestimmten Eigenschaften definiert ist. Gruppen können also Objekte enthalten, deren mathematische Darstellung oft nicht sofort klar ist. Die Drehungen eines Würfels um seine Symmetrieachsen sind Elemente einer Gruppe, ebenso wie die Vertauschung der Reihenfolge einer Menge von unterschiedlichen Objekten.
Christian B. Lang, Norbert Pucker

21. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wenn Begriffe stark durch den Alltag geprägt sind, muss man bei der Mathematisierung besonders vorsichtig sein. Für Zufall und Wahrscheinlichkeit ist das sicher so. (Wie wahrscheinlich ist es, dass es morgen regnet? Sicher scheint die Sonne!)
Wie groß ist die Chance, mit zwei Würfeln die Gesamtaugenzahl 7 zu werfen? Fragen wie diese sind Musterbeispiele für einfache Experimente. Wahrscheinlichkeit und Zufall sind miteinander eng verbundene Begriffe. Mit Zufall bezeichnen wir im Alltag meist Ereignisse, die wir nicht beeinflussen oder vorhersehen können. Die Definition hängt also implizit von unserem Kenntnisstand und unseren Möglichkeiten ab. Die Diskussion, ob es letztendlich „wirklichen“ Zufall gibt, führt einerseits zur Quantenmechanik und andererseits in die Metaphysik. In den Naturwissenschaften beschränkt man sich daher auf axiomatische Annahmen über Zufallsereignisse und deren Wahrscheinlichkeiten, die im Einzelfall natürlich Idealisierungen sind.
Christian B. Lang, Norbert Pucker

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