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2020 | OriginalPaper | Buchkapitel

7. Multipla und Divisoren von Permutationen (§ 163.)

verfasst von : Katrin Scheel

Erschienen in: Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Zusammenfassung

Ausser der eben beschriebenen Zusammensetzung benachbarter Permutationen haben wir nun noch die ebenso wichtigen Beziehungen zu betrachten, welche zwischen den Permutationen eines Körpers und denen seiner Divisoren stattfinden. Ist der Körper A ein Divisor des Körpers M, und \(\pi \) eine Permutation des letzteren, so ist in ihr immer eine vollständig bestimmte Abbildung \(\varphi \) von A enthalten, welche darin besteht, dass für jede in A, also auch in M enthaltene Zahl a das Bild \(a\varphi =a\pi \) ist, und es leuchtet aus den Grundgesetzen in §. 161 unmittelbar ein, dass diese Abbildung \(\varphi \) eine Permutation von A ist; wir wollen sie den auf A bezüglichen Divisor von \(\pi \), und umgekehrt \(\pi \) ein Multiplum von \(\varphi \) nennen. Da \(\varphi \) (wie eben bemerkt) eine Permutation von A ist, so ist \(A\varphi =A\pi \) ein Körper (zufolge S. 458) und zwar Divisor von \(M\pi \).

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Fußnoten
1
Auf diese Unterscheidung brauchte in der oben citierten Schrift (§. 2) kein Gewicht gelegt zu werden.
 
2
Derselbe gilt offenbar allgemeiner für jede Permutation \(\pi \) eines Körpers, der das System G, also auch den Körper [G] enthält; Beweis: \([G\pi ]<[G]\pi \); \([G]=[(G\pi )\pi ^{-1}]<[G\pi ]\pi ^{-1}\), also \([G]\pi <[G\pi ]\), w. z. b. w.
 
3
Ich würde das Wort Product vorziehen, wenn dasselbe nicht von manchen Schriftstellern schon bei der Zusammensetzung von Substitutionen in dem Sinne benutzt wäre, wofür ich oben (§. 162) den ebenfalls gebräuchlichen Namen Resultante gewählt habe.
 
4
Das Zeichen \((u\alpha )\beta \) hat dann und nur dann Sinn, wenn die Zahl u in \(\alpha ^x\), also \(u\alpha \) in \(\alpha ^x\alpha \), und wenn \(u\alpha \) auch in \(\beta ^x\), also \(u\alpha \) in \(\alpha ^x\alpha -\beta ^x=(\alpha ^{-1})^x-\beta ^x\), also wenn \((u\alpha )\alpha ^{-1}=u\) in \(\{(\alpha ^{-1})^x-\beta ^x\}\alpha ^{-1}=\beta ^x\alpha ^{-1}\) enthalten ist.
 
5
\(u(\beta ^{-1}\alpha ^{-1})=(u\beta ^{-1})\alpha ^{-1}=(u\alpha )\alpha ^{-1}=u\).
 
6
\([\alpha \alpha ^{-1}\alpha =\alpha ]\), \([(\alpha ^{-1})^0\alpha ^{-1}=\alpha ^{-1},\ \alpha (\alpha ^{-1})^0=\alpha ]\).
 
Metadaten
Titel
Multipla und Divisoren von Permutationen (§ 163.)
verfasst von
Katrin Scheel
Copyright-Jahr
2020
Buch
Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen

Print ISBN: 978-3-658-30927-5

Electronic ISBN: 978-3-658-30928-2

Copyright-Jahr: 2020

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-30928-2_7

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