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01.10.2016 | Ausgabe 4/2016

Finance and Stochastics 4/2016

No arbitrage of the first kind and local martingale numéraires

Zeitschrift:
Finance and Stochastics > Ausgabe 4/2016
Autoren:
Yuri Kabanov, Constantinos Kardaras, Shiqi Song

Abstract

A supermartingale deflator (resp. local martingale deflator) multiplicatively transforms nonnegative wealth processes into supermartingales (resp. local martingales). A supermartingale numéraire (resp. local martingale numéraire) is a wealth process whose reciprocal is a supermartingale deflator (resp. local martingale deflator). It has been established in previous works that absence of arbitrage of the first kind (\(\mbox{NA}_{1}\)) is equivalent to the existence of the (unique) supermartingale numéraire, and further equivalent to the existence of a strictly positive local martingale deflator; however, under \(\mbox{NA}_{1}\), a local martingale numéraire may fail to exist. In this work, we establish that under \(\mbox{NA}_{1}\), a supermartingale numéraire under the original probability \(P\) becomes a local martingale numéraire for equivalent probabilities arbitrarily close to \(P\) in the total variation distance.

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