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2016 | Buch

Einleitung und Grundlagen Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

Numerik interaktiv

Grundlagen verstehen, Modelle erforschen und Verfahren anwenden mit taramath

verfasst von: Daniel Scholz

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

In diesem Buch werden Grundlagen der numerischen Mathematik, interaktive Beispiele und praxisnahe Anwendungen miteinander verknüpft und anschaulich dargestellt. Unterstützt werden die Inhalte mit einer Vielzahl von Applikationen, die auf der Webseite des Autors kostenlos zur Verfügung stehen und deren Codes selbst editiert sowie weiterentwickelt werden können.

In der didaktischen Ausrichtung des Werkes wurde insbesondere Wert darauf gelegt, auf langwierige Beweise und Herleitung zu verzichtet, sodass zum Verständnis sämtlicher Inhalte lediglich grundlegende Kenntnisse aus der Differential- und Integralrechnung sowie der linearen Algebra vorausgesetzt werden.

Zusammenfassend besteht das Augenmerk der vorliegenden Ausarbeitung darin, die Freude und das Interesse am Lösen numerischer Probleme zu wecken sowie den Einstieg zur Lösung praxisnaher Aufgabenstellungen zu erleichtern.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Chapter 1. Einleitung und Grundlagen
Zusammenfassung
Das Ziel des vorliegenden Kapitels besteht darin, eine grundlegende Basis für die Analysen der folgenden Kapitel zu schaffen. Wie beginnen daher in Abschn. 1.1 mit einer kurzen Beschreibung davon, was die wesentlichen Herausforderungen der numerischen Mathematik sind und wie sich diese von anderen Gebieten der Mathematik unterscheiden. Da weiterhin fast alle numerischen Verfahren grundlegende Kenntnisse aus den üblichen Mathematikgrundlagenvorlesungen zur Differenzial- und Integralrechnung sowie zur linearen Algebra voraussetzen, wiederholen wir in den folgenden Abschnitten einige der für uns wichtigsten Begriffe und Konzepte: In Abschn. 1.2 fassen wir die für uns bedeutendsten Ergebnisse der linearen Algebra zusammen, in Abschn. 1.3 beschäftigen wir uns mit Vektor- und Matrixnormen, und in Abschn. 1.4 untersuchen wir konvexe Mengen und Funktionen.
Daniel Scholz
Chapter 2. Nichtlineare Gleichungssysteme
Zusammenfassung
In diesem Kapitel untersuchen wir eine der wichtigsten Grundlagen vieler Algorithmen der numerischen Mathematik, nämlich iterative Verfahren zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen. Wir beginnen in Abschn. 2.1 mit der Fixpunktiteration, welche uns schließlich zum bedeutenden Banach’schen Fixpunktsatz führt (Abschn. 2.2). Anschließend diskutieren wir in Abschn. 2.3 das Newton-Verfahen als Anwendung der Fixpunktiteration und zeigen im Beweis zur Konvergenz des eindimensionalen Newton-Verfahrens die Bedeutung des Banach’schen Fixpunktsatzes in der numerischen Mathematik.
Daniel Scholz
Chapter 3. Lineare Gleichungssysteme
Zusammenfassung
Wir wissen bereits, dass ein lineares Gleichungssystem genau dann eindeutig lösbar ist, wenn die zugehörige Matrix regulär ist. In diesem Kapitel lernen wir unterschiedliche Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit quadratischen Matrizen kennen. In Abschn. 3.1 untersuchen wir den Spezialfall von Dreiecksmatrizen, welche effizient durch Vorwärts- bzw.
Daniel Scholz
Chapter 4. Eigenwertprobleme
Zusammenfassung
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der numerischen Berechnung von Eigenwerten sowie Eigenvektoren. Obwohl die meisten hier vorgestellten Verfahren allgemein gültig sind, beschränken wir uns bewusst auf symmetrische Matrizen, denn sämtliche Eigenwerte von symmetrischen Matrizen sind reell. Wir beginnen zunächst in Abschn. 4.1 mit den grundlegenden Definitionen und Eigenschaften von Eigenwerten, bevor wir anschließend in Abschn. 4.2 ein einfaches Verfahren der Vektoriteration zur Bestimmung des jeweils betragsmäßig größten Eigenwertes einer Matrix vorstellen.
Daniel Scholz
Chapter 5. Singulärwertzerlegung
Zusammenfassung
Wir kennen bereits Eigenwerte von quadratischen Matrizen und wissen, dass diese die zugehörige lineare Abbildung charakterisieren. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit Singulärwerten von beliebigen Matrizen, welche wiederum wichtige Eigenschaften der Matrix sind. Wie beginnen in Abschn. 5.1 mit der Definition einer Singulärwertzerlegung sowie Aussagen zur Existenz und Eindeutigkeit. Weiterhin leiten wir bereits ein Verfahren zur Berechnung einer Singulärwertzerlegung her, welches sich jedoch unter Verwendung einer Bidiagonalisierung signifikant verbessern lässt (Abschn. 5.2).
Daniel Scholz
Chapter 6. Numerische Integration
Zusammenfassung
Bei der numerischen Integration von reellen Funktionen wird das exakte Integral meist durch eine gewichtete Summe von Funktionswerten approximiert. Dabei ist man sowohl daran interessiert, den Integrationsfehler zu minimieren, also auch die Anzahl der Funktionsauswertungen möglichst klein zu halten. Wir stellen in diesem Kapitel unterschiedliche Verfahren vor, welche beide Ziele ausreichend gut erfüllen.
Daniel Scholz
Chapter 7. Anfangswertprobleme
Zusammenfassung
Unter einem Anfangswertproblem verstehen wir eine gewöhnliche Differenzialgleichung, dessen Lösung eine Funktion der Zeit ist, welche zum Startzeitpunkt durch einen Anfangswert bekannt ist. Wie wir in diesem Kapitel erfahren werden, treten derartige Probleme in zahlreichen Anwendungen diverser Disziplinen auf. Wir beginnen mit einer einleitenden Definition von Anfangswertproblemen in Abschn. 7.1 und zeigen, wie sich Probleme höherer Ordnungen stets auf Probleme erster Ordnung reduzieren lassen (Abschn. 7.2).
Daniel Scholz
Chapter 8. Randwertprobleme
Zusammenfassung
Neben Anfangswertproblemen treten häufige Fragestellungen beispielsweise aus der Physik oder den Ingenieurwissenschaften in Form von Randwertproblemen auf. Dabei handelt es sich um Differenzialgleichungen, welche auf einem Gebiet gelöst werden sollen, wobei Informationen über die gesuchte Funktion am Rand des Gebiets bekannt sind. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit numerischen Lösungsverfahren derartiger Aufgaben.
Daniel Scholz
Chapter 9. Diskrete Fourier-Transformation
Zusammenfassung
In vielen technischen Anwendungen werden Signale durch Sensoren zeitlich aufgezeichnet (Zeitbereich), um sie anschließend zu analysieren und das Signal als Summe von periodischen Funktionen mit unterschiedlichen Frequenzen darzustellen (Frequenzbereich). Ein Mikrofon nimmt beispielsweise ein Drucksignal auf, welches als eine Überlagerung von Tönen bzw.
Daniel Scholz
Backmatter
Metadaten
Titel
Numerik interaktiv
verfasst von
Daniel Scholz
Copyright-Jahr
2016
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-52940-9
Print ISBN
978-3-662-52939-3
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-52940-9

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