nach oben

Erschienen in:

2020 | OriginalPaper | Buchkapitel

22. Relative Primideale (§ 178.)

verfasst von : Katrin Scheel

Erschienen in: Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Einloggen

Aktivieren Sie unsere intelligente Suche, um passende Fachinhalte oder Patente zu finden.

search-config

KI-gestützte Suche

Aus

Zusammenfassung

Der grösste gemeinsame Theiler $\mathfrak {a}+\mathfrak {b}$ und das kleinste gemeinsame Vielfache $\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$ von zwei Idealen $\mathfrak {a}$, $\mathfrak {b}$ sind ebenfalls Ideale. denn jedenfalls sind die Moduln $\mathfrak {a}+\mathfrak {b}$ und $\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$ theilbar durch $\mathfrak {o}$, weil dasselbe von $\mathfrak {a}$ und $\mathfrak {b}$ gilt; da nun $\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$ theilbar ist durch $\mathfrak {a}$ und $\mathfrak {b}$, so ist $\mathfrak {o}(\mathfrak {a}-\mathfrak {b})$ theilbar durch $\mathfrak {oa}$ und $\mathfrak {ob}$, d. h. durch $\mathfrak {a}$ und $\mathfrak {b}$, also auch durch $\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$; und da das von Null verschiedene Product $\mathfrak {ab}$ (nach §. 177, IV) durch $\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$ theilbar ist, so ist $\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$ auch von Null verschieden und folglich ein Ideal.

Sie haben noch keine Lizenz? Dann Informieren Sie sich jetzt über unsere Produkte:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft+Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

über 102.000 Bücher
über 537 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Automobil + Motoren
Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Elektrotechnik + Elektronik
Energie + Nachhaltigkeit
Finance + Banking
Management + Führung
Marketing + Vertrieb
Maschinenbau + Werkstoffe
Versicherung + Risiko

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Springer Professional "Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

über 67.000 Bücher
über 390 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Automobil + Motoren
Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Elektrotechnik + Elektronik
Energie + Nachhaltigkeit
Maschinenbau + Werkstoffe

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Springer Professional "Wirtschaft"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft" erhalten Sie Zugriff auf:

über 67.000 Bücher
über 340 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Finance + Banking
Management + Führung
Marketing + Vertrieb
Versicherung + Risiko

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Vorheriges Kapitel Ideale. Theilbarkeit und Multiplication (§ 177.)

Nächstes Kapitel Primideale (§ 179.)

Vergl. die Sätze (8), (9) in §. 170. – Wir bemerken noch, dass die in der Anmerkung zu §. 171 auf S. 510 erwähnte Gruppe von 28 Moduln, welche aus drei beliebigen Moduln $\mathfrak {a}$, $\mathfrak {b}$, $\mathfrak {c}$ entspringt, auf eine Gruppe von 18 Moduln einschrumpft, falls $\mathfrak {a}$, $\mathfrak {b}$, $\mathfrak {c}$ Ideale sind, weil gleichzeitig die dortige Classenanzahl $d=1$ wird.

Auf den ersten Blick könnte es scheinen, als müsste derselbe auch für beliebige Moduln gelten. Dies ist wirklich noch wahr, wenn nur zwei Moduln $\mathfrak {c}_1$, $\mathfrak {c}_2$ vorliegen; denn wählt man aus $\mathfrak {a}$ zwei Zahlen $\alpha _1$, $\alpha _2$, von denen die erste nicht in $\mathfrak {c}_1$, die zweite nicht in $\mathfrak {c}_2$ enthalten ist, so hat mindestens eine der drei Zahlen $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _1+\alpha _2$ offenbar die geforderte Eigenschaft. Dass aber schon für drei Moduln $\mathfrak {c}_1$, $\mathfrak {c}_2$, $\mathfrak {c}_3$ der Satz nicht allgemein gilt, ergiebt sich leicht aus der Betrachtung des Beispiels

$$\begin{aligned} \mathfrak {a}=[1,\omega ],\ \mathfrak {c}_1=[2,\omega ],\ \mathfrak {c}_2=[1,2\omega ],\ \mathfrak {c}_3=[2,1+\omega ], \end{aligned}$$

wo $\omega $ irgend eine irrationale Zahl bedeutet (vergl. §. 171, IV).

Endlich erwähnen wir, dass jeder Idealbruch, d. h. jeder Quotient von zwei Idealen, immer ein im Körper $\Omega $ enthaltener endlicher Modul $\mathfrak {i}$ auf unendlich viele Arten als Idealbruch, und nur auf eine einzige Weise als ein solcher Idealbruch dargestellt werden kann, dessen Zähler und Nenner relative Primideale sind. Jedes Ideal ist ein Idealbruch mit dem Nenner $\mathfrak {o}$. Der grösste gemeinsame Theiler, das kleinste gemeinsame Vielfache, das Product und der Quotient von irgend zwei Idealbrüchen sind ebenfalls Idealbrüche, und die Gesetze ihrer Bildung stimmen genau mit denen der rationalen Zahlentheorie überein. Die Beweise, welche hauptsächlich auf den in §. 170 bewiesenen Sätzen über eigentliche Moduln beruhen, wird der Leser leicht finden.

Wäre $\alpha _0$ in b oder in c enthalten, so wäre $\alpha _0$ auch in $a-b=a-c=m$ enthalten, was nicht der Fall ist; also

$$\begin{aligned} \left. \begin{array}{cccccc} \alpha _0&{}{{weder}}&{} \text {in}&{}b&{} noch &{}c\\ \beta _0&{}''&{}''&{}c&{}''&{}a\\ \gamma _0&{}''&{}''&{}a&{}''&{}b \end{array} \right\} \ \text {enthalten.} \end{aligned}$$

Der Begriff der Modulgruppe ist schon in §. 169 zu entwickeln.

Titel: Relative Primideale (§ 178.)
verfasst von: Katrin Scheel
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Buch: Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen
Print ISBN: 978-3-658-30927-5

Electronic ISBN: 978-3-658-30928-2

Copyright-Jahr: 2020
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-30928-2_22

Springer Professional

Zusammenfassung

Bitte loggen Sie sich ein, um Zugang zu Ihrer Lizenz zu erhalten.

Sie haben noch keine Lizenz? Dann Informieren Sie sich jetzt über unsere Produkte:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Springer Professional "Technik"

Springer Professional "Wirtschaft"

Premium Partner