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2022 | OriginalPaper | Buchkapitel

13. Schätzung und Modellierung vektor-autoregressiver Modelle im stationären Fall

verfasst von: Klaus Neusser, Martin Wagner

Erschienen in: Zeitreihenanalyse in den Wirtschaftswissenschaften

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Auszug

Wir betrachten zunächst den Kleinstquadrate-Schätzer, danach den Yule-Walker-Schätzer und setzen mit ein paar Bemerkungen zur Maximum-Likelihood-Schätzung fort. Anschließend wird in Abschn. 13.4 die Modellierung von VAR-Modellen, hier zentral die Bestimmung der im Allgemeinen unbekannten Ordnung p des Modells diskutiert. Der vorletzte Abschn. 13.5 behandelt die Wiener-Granger-Kausalität. Der letzte Abschn. 13.6 präsentiert Beweise der asymptotischen Eigenschaften der besprochenen Schätzer. …
Fußnoten
1
Um genau zu sein, siehe auch die Diskussion gegen Ende von Abschn. 13.1, greift dieses Argument nur im Rahmen von Regressionsmodellen mit nicht-stochastischen Regressoren, siehe hierzu Zellner [285].
 
2
Beachten Sie, dass die Beobachtungen t = −p + 1, …,  0,  1, …, T aufgrund der bis zum Lag p verzögerten abhängigen Variablen als Regressoren einer effektiven Stichprobengröße T für das Regressionsmodell entsprechen. Die ersten t = −p + 1, …,  0 Beobachtungen werden als fix und gegeben angenommen. In Abschn. 13.3 wird aus diesem Grund von der bedingten Likelihood-Funktion gesprochen.
Darüber hinaus vereinfacht diese Annahme die Notation in den Beweisen, da die Summen, im Unterschied zur univariaten Betrachtung in Abschn. 5.​2, von 1, …, T laufen und nicht von p + 1, …, T. Klarerweise ist es nur eine Geschmacksfrage, wie man die in der Praxis verfügbare Stichprobe bezeichnet.
 
3
Alternativ kann man natürlich auch direkt die Gleichung Y = ΦX + Z transponieren. Ausgehend von Y = XΦ′ + Z′ kann man dieselben Eigenschaften des vec-Operators und des Kronecker-Produkts wie in Gl. (13.2) verwenden, ohne Kommutationsmatrizen bemühen zu müssen.
 
4
Die entsprechende Varianz-Kovarianzmatrix des Fehlervektors vec Z′ kann man ebenfalls einfach berechnen, direkt oder durch Anwendung der Kommutationsmatrix KnT auf die obige Varianz-Kovarianzmatrix.
 
5
Es gilt sogar ein allgemeineres Resultat (siehe Deistler und Scherrer [74, Kapitel V]): Sei Γ(h) die Autokovarianzfunktion eines stationären Prozesses Xt mit positiv-definiter Varianz-Kovarianzmatrix der Innovationen und sei \(X_t(s) = (X_t^{\prime },X_{t-1}^{\prime }\), \(\ldots ,X_{t-s+1}^{\prime })'\). Dann gilt, analog definiert zur Matrix Γp von oben, dass die entsprechend zusammengefügte Block-Varianz-Kovarianzmatrix \(\boldsymbol {\Gamma }_s = \mathbb {V}(X_t(s)X_t(s)')\) positiv-definit ist für alle s ≥ 1.
 
6
Der Unterschied bezüglich Mittelwertsbereinigung verschwindet im Wesentlichen, wenn man Parameterschätzung in einem VAR-Modell mit Konstante betrachtet, siehe etwa Lütkepohl [187].
 
7
Konsistenz und asymptotische Normalität mit der exakt gleichen Grenzverteilung folgen auch ohne die in diesem Unterabschnitt zusätzlich unterstellte Normalitätsannahme. Unter den zuvor gemachten Annahmen ist die Quasi-Maximum-Likelihood-Schätzung asymptotisch exakt gleich effizient wie im Fall von normalverteilten Fehlern.
Es handelt sich bei L(Φ, Σ|Y ), wie zuvor erwähnt, um die bedingte Likelihood-Funktion, da die Beobachtungen Xp+1, …, X0 als gegeben betrachtet werden.
 
8
Aufgrund des kleineren Strafterms führt die Schätzung mittels AIC-Kriterium zu höheren geschätzten Ordnungen als die Schätzung mit den beiden konsistenten Informationskriterien.
 
9
Dieser erste Schritt steht ein wenig im Widerspruch zur Motivation zur Verwendung des Verfahrens, dass man kein parametrisches Modell spezifizieren muss, da man zwei univariate AR-Modelle zu spezifizieren hat. Darüber hinaus gilt, dass selbst wenn es sich beim bivariaten Prozess um einen vektor-autoregressiven Prozess handelt, die beiden Komponenten im Allgemeinen autoregressive Moving-average-Prozesse sind, siehe Zellner und Palm [287], was dazu führen kann, dass die AR-Ordnungen der geschätzten univariaten Modelle sehr groß sein können. Nicht zuletzt aus diesem Grund ist dieser Ansatz eher weniger gebräuchlich.
 
10
Siehe Andersen und Jordan [5] und Andersen und Carlson [4]. Neumann [205] präsentiert eine ähnliche Untersuchung für die BRD.
 
11
Es lohnt sich zu überlegen, warum die Konvergenz der Erwartungswerte einer Folge von integrierbaren nichtnegativen Zufallsvariablen Xt gegen null impliziert, dass die Wahrscheinlichkeit P(Xt > ε) gegen null konvergiert für jedes ε > 0. Außerdem ist sich in Erinnerung zu rufen, dass bei konstantem Grenzwert, Konvergenz in Verteilung und Konvergenz in Wahrscheinlichkeit äquivalent sind, siehe Theorem in Appendix C.
 
Literatur
4.
Zurück zum Zitat Andersen, L.C., Carlson, K.M.: A monetarist model for economic stabilization. Fed. Bank St. Louis Rev. 52, 7–25 (1969) Andersen, L.C., Carlson, K.M.: A monetarist model for economic stabilization. Fed. Bank St. Louis Rev. 52, 7–25 (1969)
5.
Zurück zum Zitat Andersen, L.C., Jordan, J.L.: Monetary and fiscal actions: A test of their relative importance in economic stabilization. Fed. Bank St. Louis Rev. 50, 11–23 (1968) Andersen, L.C., Jordan, J.L.: Monetary and fiscal actions: A test of their relative importance in economic stabilization. Fed. Bank St. Louis Rev. 50, 11–23 (1968)
43.
Zurück zum Zitat Brockwell, P.J., Davis, R.A.: Time Series: Theory and Methods, 2. Aufl. Springer, New York (1991) CrossRef Brockwell, P.J., Davis, R.A.: Time Series: Theory and Methods, 2. Aufl. Springer, New York (1991) CrossRef
74.
Zurück zum Zitat Deistler, M., Scherrer, W.: Modelle der Zeitreihenanalyse. Birkhäuser, Basel (2018) CrossRef Deistler, M., Scherrer, W.: Modelle der Zeitreihenanalyse. Birkhäuser, Basel (2018) CrossRef
110.
Zurück zum Zitat Geweke, J.F.: Inference and causality in economic time series models. In: Griliches, Z., Intriligator, M.D. (Hrsg.) Handbook of Econometrics, Bd. 2, Kap. 19, S. 1101–1144. Elsevier, Amsterdam (1984) Geweke, J.F.: Inference and causality in economic time series models. In: Griliches, Z., Intriligator, M.D. (Hrsg.) Handbook of Econometrics, Bd. 2, Kap. 19, S. 1101–1144. Elsevier, Amsterdam (1984)
128.
Zurück zum Zitat Granger, C.W.J.: Investigating causal relations by econometric models and cross-spectral methods. Econometrica 37, 424–438 (1969) CrossRef Granger, C.W.J.: Investigating causal relations by econometric models and cross-spectral methods. Econometrica 37, 424–438 (1969) CrossRef
137.
Zurück zum Zitat Hannan, E.J., Deistler, M.: The Statistical Theory of Linear Systems. Wiley, New York (1988) MATH Hannan, E.J., Deistler, M.: The Statistical Theory of Linear Systems. Wiley, New York (1988) MATH
141.
Zurück zum Zitat Haugh, L.D.: Checking the independence of two covariance stationary time series: A univariate residual cross-correlation approach. J. Am. Stat. Assoc. 71, 378–385 (1976) MathSciNetCrossRef Haugh, L.D.: Checking the independence of two covariance stationary time series: A univariate residual cross-correlation approach. J. Am. Stat. Assoc. 71, 378–385 (1976) MathSciNetCrossRef
187.
Zurück zum Zitat Lütkepohl, H.: New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Springer, Berlin (2005) CrossRef Lütkepohl, H.: New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Springer, Berlin (2005) CrossRef
193.
Zurück zum Zitat Magnus, J.R., Neudecker, H.: Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics. Wiley, Chichester (1988) MATH Magnus, J.R., Neudecker, H.: Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics. Wiley, Chichester (1988) MATH
205.
Zurück zum Zitat Neumann, M.J.M.: Zur relativen Bedeutung fiskalischer und monetärer Impulse. WSI-Mitteilungen 26, 14–25 (1973) Neumann, M.J.M.: Zur relativen Bedeutung fiskalischer und monetärer Impulse. WSI-Mitteilungen 26, 14–25 (1973)
219.
Zurück zum Zitat Pauly, P.: Monetarismus versus Fiskalismus: Theorie und empirische Evidenz. Wirtschaftsdienst 54, 373–380 (1974) Pauly, P.: Monetarismus versus Fiskalismus: Theorie und empirische Evidenz. Wirtschaftsdienst 54, 373–380 (1974)
229.
Zurück zum Zitat Pierce, D.A., Haugh, L.D.: Causality in temporal systems – Characterization and survey. J. Econ. 5, 265–293 (1977) MathSciNetCrossRef Pierce, D.A., Haugh, L.D.: Causality in temporal systems – Characterization and survey. J. Econ. 5, 265–293 (1977) MathSciNetCrossRef
237.
Zurück zum Zitat Reinsel, G.C.: Elements of Multivariate Time Series Analysis. Springer Series in Statistics. Springer, New York (1993) CrossRef Reinsel, G.C.: Elements of Multivariate Time Series Analysis. Springer Series in Statistics. Springer, New York (1993) CrossRef
249.
Zurück zum Zitat Schönfeld, P.: Methoden der Ökonometrie. Band 1: Lineare Regressionsmodelle. Vahlen, Berlin/Frankfurt (1969) Schönfeld, P.: Methoden der Ökonometrie. Band 1: Lineare Regressionsmodelle. Vahlen, Berlin/Frankfurt (1969)
251.
Zurück zum Zitat Shaman, P., Stine, R.A.: The bias of autoregressive coefficient estimators. J. Am. Stat. Assoc. 83, 842–848 (1988) MathSciNetCrossRef Shaman, P., Stine, R.A.: The bias of autoregressive coefficient estimators. J. Am. Stat. Assoc. 83, 842–848 (1988) MathSciNetCrossRef
253.
Zurück zum Zitat Sims, C.A.: Money, income, and causality. Am. Econ. Rev. 62, 540–552 (1972) Sims, C.A.: Money, income, and causality. Am. Econ. Rev. 62, 540–552 (1972)
254.
Zurück zum Zitat Sims, C.A.: Comparison of interwar and postwar business cycles: Monetarism reconsidered. Am. Econ. Rev. 70, 250–257 (1980) Sims, C.A.: Comparison of interwar and postwar business cycles: Monetarism reconsidered. Am. Econ. Rev. 70, 250–257 (1980)
264.
Zurück zum Zitat Tjøstheim, D., Paulsen, J.: Bias of some commonly-used time series estimates. Biometrika 70, 389–399, Corrigendum: 71 (1984), 656 (1983) Tjøstheim, D., Paulsen, J.: Bias of some commonly-used time series estimates. Biometrika 70, 389–399, Corrigendum: 71 (1984), 656 (1983)
265.
Zurück zum Zitat Tobin, J.: Money and income: Post hoc ergo propter hoc? Q. J. Econ. 84, 310–317 (1970) Tobin, J.: Money and income: Post hoc ergo propter hoc? Q. J. Econ. 84, 310–317 (1970)
278.
Zurück zum Zitat Wiener, N.: The theory of prediction. In: Beckenbach, E.F. (Hrsg.) Modern Mathematics for Engineers, Series 1, S. 165–1987. McGraw-Hill, New York (1956) Wiener, N.: The theory of prediction. In: Beckenbach, E.F. (Hrsg.) Modern Mathematics for Engineers, Series 1, S. 165–1987. McGraw-Hill, New York (1956)
285.
Zurück zum Zitat Zellner, A.: An efficient method of estimating seemingly unrelated regressions and tests for aggregation bias. J. Am. Stat. Assoc. 57, 348–368 (1962) MathSciNetCrossRef Zellner, A.: An efficient method of estimating seemingly unrelated regressions and tests for aggregation bias. J. Am. Stat. Assoc. 57, 348–368 (1962) MathSciNetCrossRef
286.
Zurück zum Zitat Zellner, A.: Causality and econometrics. Carn.-Roch. Conf. Ser. Public Policy 10, 9–54 (1979) Zellner, A.: Causality and econometrics. Carn.-Roch. Conf. Ser. Public Policy 10, 9–54 (1979)
287.
Zurück zum Zitat Zellner, A., Palm, F.: Time series analysis and simultaneous equation econometric models. J. Econ. 2, 17–54 (1974) CrossRef Zellner, A., Palm, F.: Time series analysis and simultaneous equation econometric models. J. Econ. 2, 17–54 (1974) CrossRef
Metadaten
Titel
Schätzung und Modellierung vektor-autoregressiver Modelle im stationären Fall
verfasst von
Klaus Neusser
Martin Wagner
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-64650-2_13

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