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2022 | OriginalPaper | Buchkapitel

13. Schätzung und Modellierung vektor-autoregressiver Modelle im stationären Fall

verfasst von : Klaus Neusser, Martin Wagner

Erschienen in: Zeitreihenanalyse in den Wirtschaftswissenschaften

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Auszug

Wir betrachten zunächst den Kleinstquadrate-Schätzer, danach den Yule-Walker-Schätzer und setzen mit ein paar Bemerkungen zur Maximum-Likelihood-Schätzung fort. Anschließend wird in Abschn. 13.4 die Modellierung von VAR-Modellen, hier zentral die Bestimmung der im Allgemeinen unbekannten Ordnung p des Modells diskutiert. Der vorletzte Abschn. 13.5 behandelt die Wiener-Granger-Kausalität. Der letzte Abschn. 13.6 präsentiert Beweise der asymptotischen Eigenschaften der besprochenen Schätzer. …

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Fußnoten
1
Um genau zu sein, siehe auch die Diskussion gegen Ende von Abschn. 13.1, greift dieses Argument nur im Rahmen von Regressionsmodellen mit nicht-stochastischen Regressoren, siehe hierzu Zellner [285].
 
2
Beachten Sie, dass die Beobachtungen t = −p + 1, …,  0,  1, …, T aufgrund der bis zum Lag p verzögerten abhängigen Variablen als Regressoren einer effektiven Stichprobengröße T für das Regressionsmodell entsprechen. Die ersten t = −p + 1, …,  0 Beobachtungen werden als fix und gegeben angenommen. In Abschn. 13.3 wird aus diesem Grund von der bedingten Likelihood-Funktion gesprochen.
Darüber hinaus vereinfacht diese Annahme die Notation in den Beweisen, da die Summen, im Unterschied zur univariaten Betrachtung in Abschn. 5.​2, von 1, …, T laufen und nicht von p + 1, …, T. Klarerweise ist es nur eine Geschmacksfrage, wie man die in der Praxis verfügbare Stichprobe bezeichnet.
 
3
Alternativ kann man natürlich auch direkt die Gleichung Y = ΦX′ + Z transponieren. Ausgehend von Y ′ = XΦ′ + Z′ kann man dieselben Eigenschaften des vec-Operators und des Kronecker-Produkts wie in Gl. (13.2) verwenden, ohne Kommutationsmatrizen bemühen zu müssen.
 
4
Die entsprechende Varianz-Kovarianzmatrix des Fehlervektors vec Z′ kann man ebenfalls einfach berechnen, direkt oder durch Anwendung der Kommutationsmatrix KnT auf die obige Varianz-Kovarianzmatrix.
 
5
Es gilt sogar ein allgemeineres Resultat (siehe Deistler und Scherrer [74, Kapitel V]): Sei Γ(h) die Autokovarianzfunktion eines stationären Prozesses Xt mit positiv-definiter Varianz-Kovarianzmatrix der Innovationen und sei \(X_t(s) = (X_t^{\prime },X_{t-1}^{\prime }\), \(\ldots ,X_{t-s+1}^{\prime })'\). Dann gilt, analog definiert zur Matrix Γp von oben, dass die entsprechend zusammengefügte Block-Varianz-Kovarianzmatrix \(\boldsymbol {\Gamma }_s = \mathbb {V}(X_t(s)X_t(s)')\) positiv-definit ist für alle s ≥ 1.
 
6
Der Unterschied bezüglich Mittelwertsbereinigung verschwindet im Wesentlichen, wenn man Parameterschätzung in einem VAR-Modell mit Konstante betrachtet, siehe etwa Lütkepohl [187].
 
7
Konsistenz und asymptotische Normalität mit der exakt gleichen Grenzverteilung folgen auch ohne die in diesem Unterabschnitt zusätzlich unterstellte Normalitätsannahme. Unter den zuvor gemachten Annahmen ist die Quasi-Maximum-Likelihood-Schätzung asymptotisch exakt gleich effizient wie im Fall von normalverteilten Fehlern.
Es handelt sich bei L(Φ, Σ|Y ), wie zuvor erwähnt, um die bedingte Likelihood-Funktion, da die Beobachtungen X−p+1, …, X0 als gegeben betrachtet werden.
 
8
Aufgrund des kleineren Strafterms führt die Schätzung mittels AIC-Kriterium zu höheren geschätzten Ordnungen als die Schätzung mit den beiden konsistenten Informationskriterien.
 
9
Dieser erste Schritt steht ein wenig im Widerspruch zur Motivation zur Verwendung des Verfahrens, dass man kein parametrisches Modell spezifizieren muss, da man zwei univariate AR-Modelle zu spezifizieren hat. Darüber hinaus gilt, dass selbst wenn es sich beim bivariaten Prozess um einen vektor-autoregressiven Prozess handelt, die beiden Komponenten im Allgemeinen autoregressive Moving-average-Prozesse sind, siehe Zellner und Palm [287], was dazu führen kann, dass die AR-Ordnungen der geschätzten univariaten Modelle sehr groß sein können. Nicht zuletzt aus diesem Grund ist dieser Ansatz eher weniger gebräuchlich.
 
10
Siehe Andersen und Jordan [5] und Andersen und Carlson [4]. Neumann [205] präsentiert eine ähnliche Untersuchung für die BRD.
 
11
Es lohnt sich zu überlegen, warum die Konvergenz der Erwartungswerte einer Folge von integrierbaren nichtnegativen Zufallsvariablen Xt gegen null impliziert, dass die Wahrscheinlichkeit P(Xt > ε) gegen null konvergiert für jedes ε > 0. Außerdem ist sich in Erinnerung zu rufen, dass bei konstantem Grenzwert, Konvergenz in Verteilung und Konvergenz in Wahrscheinlichkeit äquivalent sind, siehe Theorem in Appendix C.
 
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Metadaten
Titel
Schätzung und Modellierung vektor-autoregressiver Modelle im stationären Fall
verfasst von
Klaus Neusser
Martin Wagner
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Zeitreihenanalyse in den Wirtschaftswissenschaften

Print ISBN: 978-3-662-64649-6

Electronic ISBN: 978-3-662-64650-2

Copyright-Jahr: 2022

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-64650-2_13