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Über dieses Buch

Dieses Buch wird alle Liebhaber der Mathematik (und die es werden wollen) durch eine Fülle von reizvollen und unterhaltsamen Problemstellungen aus Algebra, Geometrie, Kombinatorik und Zahlentheorie begeistern. Vierzig ausgewählte Aufgaben aus 50 Jahren Bundeswettbewerb Mathematik werden mit ausführlichen Lösungen, Einblicken in das mathematische Umfeld und inhaltlichen Variationen reich illustriert präsentiert.

Von der Mathematik geht für viele seit jeher eine besondere Faszination aus. Wer tiefer in sie eindringt, entdeckt ihre Schönheit, ihre Eleganz und ihre unendliche Vielfalt und stößt immer wieder auf überraschende Resultate. Hiermit bereits bei Schülerinnen und Schülern Interesse zu wecken, ist eines der Anliegen des Bundeswettbewerbs Mathematik. Mit seinen außergewöhnlichen Aufgaben regt er seit nunmehr einem halben Jahrhundert Jugendliche an, sich intensiv mit elementarer Mathematik auf höherem Niveau zu beschäftigen und Erfahrungen im Problemlösen zu sammeln.

Anhand von ausgewählten und besonders ansprechenden Problemstellungen dokumentiert dieses Buch deren Reiz und beleuchtet ihren jeweiligen mathematischen Hintergrund. Darüber hinaus sind alle Aufgaben, die seit dem ersten Lauf des Bundeswettbewerbs Mathematik im Schuljahr 1970/71 gestellt worden sind, vollständig enthalten.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

50 Jahre Bundeswettbewerb Mathematik – Die schönsten Aufgaben

Frontmatter

Die Erste

Die erste gestellte Aufgabe in der Geschichte des Bundeswettbewerbs Mathematik ist ein kleines Zahlenspiel, in dem die Jahreszahl des Wettbewerbs eine Rolle spielt. Der Beitrag verfolgt neben der Lösung des Problems mit Hilfe des Invarianzprinzips vor allem das Ziel, ein Beispiel zu geben, wie man einen Beweis findet. Das beschäftigt interessierte Schüler ja immer am meisten: „Wie soll man denn darauf kommen?“ Denn ein eleganter Beweis kondensiert in der Regel einen Denkprozess, der ganz anders gelaufen ist, als der aufgeschriebene Beweistext vermuten lässt. Das wird hier vorgeführt. Das Prinzip „be wise – generalize“ kommt ebenfalls zum Tragen, da die gestellte Aussage in verallgemeinerter Form gelöst wird und auf den Spezialfall für die Jahreszahl 1970 herunter gebrochen wird.

Cornelia Wissemann-Hartmann

Plattenlegen I

In diesem Beitrag wird eine Aufgabe der 2. Runde aus den Anfangsjahren des Bundeswettbewerbs Mathematik vorgestellt, die sich mit rechteckigen Schiebepuzzeln befasst. Mit Hilfe geeigneter Muster bzw. Färbungen und der Idee Invarianten zu betrachten, gelingt ein kurzer Beweis der vorgelegten Aussage. Es wird hierbei nicht nur zielstrebig die „Gewinner-Idee“ präsentiert, sondern auch nahe liegende Lösungsversuche vorgestellt, die – obwohl nicht erfolgreich – dennoch lehrreich sind und zu weiteren Überlegungen anregen.

Eckard Specht

Einbahnwege im Vieleck

In diesem Beitrag wird die vierte Aufgabe der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 1973 vorgestellt. Dabei geht es um Wege entlang der mit Pfeilen zu versehenden Seiten und Diagonalen eines Vielecks. Die vorgestellten drei Lösungsvarianten nutzen kombinatorische und geometrische Aspekte. Abschließend wird ein Ausblick auf eine graphentheoretische Sichtweise der Aufgabe gegeben.

Robert Strich

Fahrt mit strenger Abbiegeregel

In Sikinien, wo es nur endlich viele Städte gibt, gehen von jeder Stadt drei Straßen aus, von denen jede wieder zu einer sikinischen Stadt führt. Ein Tourist startet von irgendeiner Stadt A aus und biegt in jeder folgenden Stadt abwechselnd einmal nach links und dann nach rechts ab. Erstaunt stellt er fest, dass er wieder in die Stadt A kommt. Dieser überraschende Effekt wird nicht nur auf verschiedene Weise bewiesen, sondern wir erfahren auch einen näheren Einblick in die möglichen Strukturen solcher Fahrten in unterschiedlichen sikinischen Ländern.

Erhard Quaisser

Springer – mal anders!

Diese erste Aufgabe der 1. Runde des Bundeswettbewerbs 1978 betrachtet einen Springer auf einem unendlichen Schachbrett. Zudem bewegt sich der Springer anders als gewohnt, aber immer noch in Springermanier. Gezeigt wird nun, dass die Anzahl der Züge gerade gewesen sein muss, wenn der Springer zu irgendeinem Zeitpunkt wieder auf seinem Ausgangsfeld ankommen soll. Diese nicht allzu schwierige Aufgabe wird zunächst mit einem verwandten Problem verglichen, das mit dem Invarianzprinzip gelöst wird, dann wird mit Hilfe eines indirekten Beweises die Aussage der Aufgabe mit einem Widerspruch bezüglich gerade und ungerade gezeigt. Drei Sonderfälle bezüglich der Bewegung und zwei weitere Beweisansätze werden vorgestellt.

Cornelia Wissemann-Hartmann

Eine Zahl beschreibt sich selbst

Der Beitrag befasst sich mit einer Aufgabe über natürliche Zahlen, deren Ziffern zugleich Anzahlen von Ziffern bedeuten. Neben einer vollständigen Lösung und einer Hinführung zu den wesentlichen Lösungsgedanken werden Verallgemeinerungen betrachtet. Darüber hinaus wird die Geschichte des vorliegenden Motivs bei mathematischen Schülerwettbewerben und Fachzeitschriften dargestellt.

Horst Sewerin

Eine unscheinbare Bedingung

Die schlichte Bedingung, dass in einem Dreieck die Summe der Seitenlängen a und b gleich dem Doppelten der Länge c der dritten Seite ist, hat überraschend zur Folge, dass die Verbindungsstrecke von Schwerpunkt und Inkreismittelpunkt parallel zu einer Dreieckseite verläuft, nämlich zu der Seite mit der Länge c. Die Aufgabenstellung ist bereits nach üblichen elementaren Unterweisungen aus dem Geometrieunterricht verständlich. Der Reiz und die Schönheit der Problemstellung erwachsen in dem Bemühen, sie zu lösen. Es eröffnen sich zunehmend viele (auch recht elementare) Möglichkeiten zum Beweis und interessante Einsichten. Eine Übersicht über derartige Dreiecke gewinnt man auch durch die Gärtnerkonstruktion von Ellipsen.

Erhard Quaisser

Plattenlegen II

Dieses Kapitel behandelt die dritte Aufgabe der 1. Runde im Bundeswettbewerb Mathematik 1981, ein Pflasterungsproblem, das sich mit einem Färbungstrick lösen lässt, und führt uns zu Überlegungen über Induktionsbeweise, Färbungsbeweise, den Unterschied zwischen Wettbewerbsaufgaben und Forschungsproblemen, und zu der Frage, warum wir uns (und anderen) immer wieder und immer noch etwas beweisen müssen.

Günter M. Ziegler

Kreise dominieren Geraden

Jede bijektive Abbildung der Ebene, die Kreislinien auf Kreislinien abbildet, bildet auch Geraden auf Geraden ab – das behauptete die zweite Aufgabe der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 1981. Damit lassen sich diese Abbildungen mit Mitteln der affinen Geometrie klassifizieren: es sind genau die Ähnlichkeitsabbildungen.

Eric Müller

Schattenspiele

Dieser Beitrag behandelt eine Fragestellung aus der 2. Runde des Jahres 1982, die mit einem einzigen kurzen Satz formuliert ist: Können beliebige Dreiecke im Raum einen gleichseitigen dreieckigen Schatten werfen? Die Antwort ergibt sich auf rein algebraischem Wege durch Lösung einer biquadratischen Gleichung, was mit Mitteln der Schulmathematik durchaus zu schaffen ist. Ein Tipp, wo man das Resultat „experimentell“ überprüfen kann, wird gegeben.

Eckard Specht

Eine echte Rarität

Im Bundeswettbewerb Mathematik sind zu beweisende Ungleichungen eher eine Seltenheit. Heutzutage sind mathematische Zeitschriften, die eigene Kolumnen für Problemsteller und -löser pflegen (und das sind mittlerweile unüberschaubar viele), voll davon. In diesem Beitrag wird eine algebraische Ungleichung in n Variablen mit einer Nebenbedingung aufgegriffen, die damals sehr populär war. Es werden die wichtigsten Standardungleichungen vorgestellt, mit deren Hilfe sich die vorliegende Aufgabe und viele weitere Ungleichungen beweisen lassen.

Eckard Specht

Fußbälle als Polyeder

Um Fußbälle geht es in einer vermeintlich leichten Einstiegsaufgabe (erste Aufgabe der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 1983). Ausgehend von kombinatorischen Überlegungen zu den Anzahlen von Seiten, Kanten und Ecken von Polyedern wird die Lösungsidee entwickelt, die schließlich auf unendlich viele Lösungen führt. Der Beitrag stellt die ansehnlich illustrierten archimedischen Körper vor und endet mit der Präsentation eines „Mega-Fußballs“, dessen Konstruktion echte Forschungsarbeit beinhaltete. Zahlreiche Literaturhinweise ermöglichen es, bereits als Schüler oder Schülerin tiefer in die teils unerforschte Welt der Polytope vorzudringen.

Eckard Specht

Napoleonische Rechtecke

Meistens wird in der Fachliteratur Mathematik als fertiges Produkt dargestellt. Der Weg, wie der Verfasser, z. B. eines Beweises, auf die eine oder andere Idee gekommen ist, bleibt aber verborgen. Es mag sein, dass dabei der „göttliche Funke“ am Werk war; viel wahrscheinlicher ist es aber, dass das Resultat nach einer gründlichen Auseinandersetzung mit dem Problem entstanden ist. Ziel des Beitrags ist es, diesen „mühsamen“ Weg anhand einer elementargeometrischen Aufgabe zu präsentieren. Dabei wird ein Beweis vorgestellt, der von einem Spezialfall ausgeht, und eine Leitidee verfolgend, schrittweise zum allgemeinen Fall führt.

Emese-Tünde Vargyas

Der Wurm und die Halbkreisscheibe

Bei der vierten Aufgabe der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 1990, die mehrheitlich als die schönste aller jemals gestellten Aufgaben beurteilt worden ist, war zu zeigen, dass man jeden Wurm der Länge 1 in der Ebene mit einer Halbkreisscheibe mit dem Durchmesser 1 zudecken kann. Der Beitrag stellt einen kurzen Beweis dieser Aussage mit Hilfe des Spiegelungsprinzips vor und schlägt eine Brücke zu verwandten Problemen, u. a. dem ungelösten Wurmproblem von Leo Moser, und enthält eine entsprechende Aussage für Würmer im Raum.

Eric Müller

Ich weiß, dass ich nichts weiß

In dem Beitrag wird eine sehr ungewöhnliche Wettbewerbsaufgabe vorgestellt. In ihr sollen zwei Spieler die gedachte Zahl des anderen erraten, ohne dass scheinbar eine vernünftige Information zugrunde liegt. Die Situation wird ausführlich analysiert und daraus eine vollständige Lösung in Form eines indirekten Beweises mit vollständiger Induktion entwickelt.

Horst Sewerin

Kippspuren

Ein regelmäßiges Tetraeder mit einer schwarzen und drei weißen Flächen steht mit seiner schwarzen Fläche auf einer Ebene. Es wird über je eine seiner Kanten gekippt. Schließlich nimmt es wieder den ursprünglichen Platz in der Ebene ein. Kann es dann auf einer seiner weißen Flächen stehen? Nein, mehr noch, das Tetraeder nimmt die gleiche räumliche Lage wie zu Beginn der Kippungen ein. Kippspuren werden überdies bei den weiteren vier regelmäßigen Polyedern verfolgt, auch hier mit überraschenden Einsichten, u. a. über ebene Muster, die bei den Kippungen entstehen.

Erhard Quaisser

VielfältigeWege

Der besondere Reiz der vorgelegten Aufgabe in der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 1998 besteht darin, dass man die unterschiedlichsten Sachverhalte sowie Mittel und Methoden bis hin zu komplexen Zahlen – insbesondere aus der Elementargeometrie – zum Beweisen nutzen kann. Die Darlegungen möchten einen solchen Spielraum aufzeigen. Dabei stehen Bereitstellungen aus der Schulgeometrie im Vordergrund. Insbesondere sieht man, wie nützlich man Bewegungen als Beweismittel und -methode einsetzen kann, und man lernt spezielle Sätze wie die von THÉBAULT und von VAN AUBEL kennen.

Erhard Quaisser

Mehr Seitenflächen als Ecken

In der dem Beitrag zugrunde liegenden Aufgabe geht es um spezielle konvexe Polyeder und die Bestimmung der Minimalzahl ihrer dreieckigen Seitenflächen. Neben der vollständigen Lösung dieser Aufgabe bietet der Beitrag einen kleinen Streifzug durch die regulären Polyeder und andere konvexe Deltaeder. Ein Ausschnitt der räumlichen Geometrie wird so auf Schulniveau handlungsorientiert erfahrbar.

Horst Sewerin

Ein besonderes Spielbrett

In diesem Abschnitt wird die vierte Aufgabe der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2000 vorgestellt. Dabei werden Spielsteine auf den Sektoren eines kreisförmigen Spielbretts nach einer fest vorgegebenen Regel gesetzt bzw. entfernt und es soll untersucht werden, unter welcher Bedingung an die Gesamtzahl der Sektoren aus einem anfangs nur mit einem Spielstein besetzten Brett ein leeres Brett erzeugt werden kann. Bei der vorgestellten Lösung wird das Invarianzprinzip in einer interessanten Variante angewandt.

Robert Strich

Wie beliebt sind Endziffern bei Teilern?

In der vierten Aufgabe der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2001 war zu zeigen, dass jede natürliche Zahl mindestens so viele Teiler mit der Endziffer 1 oder 9 wie Teiler mit den Endziffern 3 oder 7 hat. Der Artikel beweist daneben eine entsprechende Aussage bezüglich der Endziffern 2, 8, 4, 6 und bestimmt allgemeiner – zunächst experimentell computerunterstützt und dann durch Beweise, wie häufig Teiler mit gewisser Endziffer unter den Teilern einer natürlichen Zahl durchschnittlich vorkommen. Die Beweise enthalten zum Teil ungewöhnliche und interessante Anwendungen höherer Hilfsmittel wie der Potenzreihe für den natürlichen Logarithmus und dem Satz von Dirichlet über Primzahlen in arithmetischen Folgen.

Eric Müller

Taubenschläge und andere Kisten

Ein Färbungsproblem der Eckpunkte eines regelmäßigen 100-Ecks ist der Inhalt der ersten Aufgabe der 2. Runde von 2001. Der Artikel beleuchtet und variiert zunächst die Situation und stellt das Schubfachprinzip vor, das in der Kombinatorik häufig Anwendung findet. Eine drehbare Folie mit farbigen Punkten, die die Symmetrie des n-Ecks ausschöpft, wird nun als Beweismittel genutzt, um das Schubfachprinzip anzuwenden. Abschließend wird eine Verallgemeinerung der Aussage bewiesen, die die Ideen zusammenfasst, die bei der Exploration gefunden wurden.

Cornelia Wissemann-Hartmann

Ein besonderer Zusammenhang

In der anspruchsvollen vierten Aufgabe der 2. Runde im Bundeswettbewerb Mathematik 2002 geht es um eine wechselseitige Bedingung spezieller Lagen des Inkreismittelpunktes und des Umkreismittelpunktes eines Dreiecks. Ein übersichtlicher Beweis wird über eine Kette von äquivalenten Aussagen über Seitenlängen, Flächeninhalte und Winkelgr ößen gef ührt, die auch ein eigenständiges Interesse beanspruchen. Es dominiert der Gebrauch von Mitteln und Methoden aus der Trigonometrie. Am Ende wird ein bemerkenswerter und kurzer Beweis mit trilinearen Koordinaten gef ührt.

Erhard Quaisser

Spiele mit Parkettierungen

Die dritte Aufgabe der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2004, die zwanzigste der Schönsten, stellt das Problem, zwei kongruente regelmäßige Sechsecke so in sechs Teile zu zerschneiden, dass man aus ihnen ein gleichseitiges Dreieck zusammensetzen kann – ein klassisches Zerschneidungsproblem. Die Fragestellung gibt Anlass, über PLATONISCHE Parkettierungen der Ebene nachzudenken. Ein Ausflug in die Welt der Kunst zu den Metamorphosen von M. C. ESCHER darf da nicht fehlen. Mit elementargeometrischen Mitteln wird recht leicht eine passende Zerschneidung gefunden. Weitere Zerschneidungen werden vorgestellt, und es wird dazu aufgefordert, neue zu finden, die dann auf der Internetseite des Bundeswettbewerbs ver öffentlicht würden. Den Abschluss des Beitrags bilden eine Verallgemeinerung auf andere allgemeinere Vielecke und eine theoretische Einbettung. Eine wirklich schöne Geometrie-Aufgabemit vielen Bezügen!

Cornelia Wissemann-Hartmann

Verfolgungsjagd

Zwei Spieler stellen je einen Spielstein auf unterschiedlich gefärbte Ecken eines Schachbretts und dürfen dann abwechselnd um jeweils ein Feld (nicht diagonal) ziehen. Obwohl sich beide Spielsteine „gleich schnell“ bewegen, kann der Erste den Zweiten einholen und schlagen. Diese Aussage der ersten Aufgabe der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 wird bewiesen und auf beliebige Spielbretter aus Einheitsquadraten verallgemeinert, die mit den angegebenen Zügen durchwandert werden können. Es wird gezeigt, dass der erste Spieler den Zweiten genau dann einholen kann, wenn das Spielbrett aus endlich vielen Einheitsquadraten besteht und keine mit den angegebenen Zügen umwanderbaren Löcher hat.

Eric Müller

Pythagorasverdä chtig

Die Gleichung a2 + b2 = c2, der Satz des PYTHAGORAS in einem beim Eckpunkt C rechtwinkligen Dreieck, ist eine der bekanntesten Gleichungen in derMathematik.Weniger verbreitet ist wohl die Tatsache, dass die Abwandlung zu a2 + b2 < c2 eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, dass der Winkel beim Eckpunkt C größer als 90◦ ist. Welche Eigenschaften hat ein Dreieck ABC, wenn man diese Bedingung weiter verändert zu a2 + b2 < 5c2? Die dritte Aufgabe der 1. Runde 2006 des Bundeswettbewerbs Mathematik beschäftigt sich mit eben diesem Thema.

Karl Fegert

Schwarz-weißes Roulette

In der ersten Aufgabe der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2006 werden gewisse Nummerierungen von schwarzen und weißen Sektoren in einem Kreis untersucht. Dieser Beitrag beginnt mit der Lösung dieser Aufgabe und behandelt anschließend eine Verallgemeinerung auf den unendlichen Fall. Dabei kommen Grenzwertphänomene und eine Intervallschachtelung vor.

Lisa Sauermann, Eric Müller

Ziffernreduzierte Zahlen

In diesem Beitrag geht es um die vierte Aufgabe der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2006. Dabei soll der Wert der Summe von endlich vielen verschiedenen Stammbrüchen, deren Nenner jeweils mindestens eine der zehn möglichen Ziffern nicht enthalten, abgeschätzt werden. Je nach der gewählten Vorgehensweise gelingen dabei beachtliche Erkenntnisse über die auf diese Weise „ausgedünnte“ harmonische Reihe. Insbesondere werden zwei Möglichkeiten aufgezeigt, wie man die kleinstmögliche obere Schranke aller derartiger Summen beliebig genau bestimmen kann.

Robert Strich, Eric Müller

Zahlenverteilung gesucht

In jeder englischen Kneipe hängt ein Dartboard – ein Kreis, der in 20 Sektoren aufgeteilt ist, die mit den Zahlen von 1 bis 20 beschriftet sind. Die Verteilung der Zahlen scheint dabei nicht besonders ausgewogen: die Summe der Zahlen in drei aufeinander folgenden Sektoren schwankt zwischen 39 und 22. Geht das gleichmäßiger? Dieses Motiv wird in der ersten Aufgabe der 1. Runde 2007 des Bundeswettbewerbs Mathematik aufgegriffen: Für ein Dartboard mit 4014 Sektoren wird eine Verteilung der Zahlen 1, 2,. . . , 4014 gesucht, bei der diese Summen alle den gleichen Wert annehmen sollen. Dabei wird allerdings zur Beschreibung der Problemstellung nicht eine Aufteilung eines Kreises in 4014 Sektoren gewählt, sondern – passend zur Jahreszahl – ein 2017-Eck, bei dem die Ecken und die Seitenmitten mit Zahlen beschriftet werden.

Karl Fegert

Uhrige Dreiecke

Dieser Beitrag widmet sich der vierten Aufgabe der 2. Runde des BundeswettbewerbsMathematik 2007. In dieser recht schwierigen, aber sehr interessanten Aufgabe geht es um Nummerierungen der Gitterpunkte eines in Dreiecke unterteilten Sechsecks und die jeweilige Anzahl an Dreiecken mit einer gewissen Uhrzeigersinn-Eigenschaft. Nach der Lösung der Aufgabe mithilfe doppelten Abzählens werden verschiedene Verallgemeinerungen und verwandte Aussagen diskutiert. Dabei wird unter anderem auf die EULERSCHE Polyederformel und den Satz von PICK eingegangen.

Lisa Sauermann

Harmonische Partitionen

In der zweiten Aufgabe der 1. Runde des BundeswettbewerbsMathematik 2008 war verlangt, diese Jahreszahl als Summe natürlicher Zahlen zu schreiben, deren Kehrwerte die Summe 1 haben. Hierfür gibt es sehr viele Herangehensweisen, was diese Aufgabe attraktiv macht. Der Beitrag stellt einige Möglichkeiten vor, gezielt solche Summanden zu finden, schätzt die Anzahl der Summanden ab und untersucht auch, für welche Zahlen eine derartige Summendarstellung überhaupt möglich ist (auch mit lauter unterschiedlichen Summanden und anderen ganzzahligen Summen der Kehrwerte).

Eric Müller

Schachbrettartige Zerlegung der Kugelfläche

Dieser Beitrag greift eine Aufgabe aus dem Jahr 2008 des BundeswettbewerbsMathematik auf (dritte Aufgabe der 2. Runde), der das Bild auf dem Buchtitel entstammt. Er beschäftigt sich mit einer schachbrettartigen Färbung von acht unsymmetrischen Gebieten auf der Kugeloberfläche. Durch den Trick einer erzwungenen Symmetrisierung des Problems, wodurch die Anzahl der zu betrachtenden Gebiete zwar auf 26 steigt, wird eine Lösung der Aufgabe jedoch überraschend augenfällig. In einem Exkurs wird das Verfahren der” Monte-Carlo-Integration“ als eine computerunterst ützte Untersuchungmethode jenseits der exakten Beweistechniken vorgestellt.

Eckard Specht

Spiegelpunkte

Die dritte Aufgabe der 1. Runde des BundeswettbewerbsMathematik 2009 entstammt der Elementargeometrie und handelt von mehreren Punktspiegelungen in einem Dreieck. Dieser Beitrag enthält vier verschiedene Lösungen der Aufgabemit unterschiedlichenMethoden. Neben dem Beweis der Behauptung werden jeweils weitere interessante Eigenschaften der vorliegenden geometrischen Figur diskutiert.

Lisa Sauermann

Überraschende Ähnlichkeit

Über den Seiten eines beliebigen Dreiecks werden nach außen hin zueinander ähnliche Dreiecke aufgesetzt. Esüberrascht, dass dann auch das Dreieck, das die Umkreismittelpunkte der aufgesetzten Dreiecke bilden, selbst zu diesen Dreiecken ähnlich ist. Die Verwendung von Drehstreckungen erweist sich als effektive und natürliche Beweisführung. Die Darlegungen führen zu weiteren interessanten Sachverhalten wie zu dem Satz von MIQUEL und dem Satz des NAPOLEON.

Erhard Quaisser

Verallgemeinerte Binärdarstellung

Bekanntlich lässt sich jede nat ürliche Zahl eindeutig im Stellenwertsystem zur Basis 2 darstellen. Erlaubt man weitere Ziffern, z. B. die 2 und 3, ist die Darstellung in der Regel nicht mehr eindeutig. In der vierten Aufgabe der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2010 war zu untersuchen, welche Zahlen in dieser Situation genau 2010 verschiedene Darstellungen erlauben. Der Beitrag verallgemeinert diese Aufgabenstellung auch auf Stellenwertsysteme mit beliebiger Basis, leitet verschiedene Rekursionsformeln für die Anzahl der Darstellungen her und ermittelt daraus das Wachstumsverhalten dieser Anzahlen, und unter welchen Voraussetzungen jede beliebige positive Anzahl von Darstellungen angenommen werden kann.

Eric Müller

Wie ungleichschenklig kann ein Dreieck sein?

Ist a die kleinste und c die größte Seitenlänge eines Dreiecks, dann kann dasMinimumder Quotienten b/a und c/b als ein Maß für die Ungleichschenkligkeit des Dreiecks angesehen werden. Es interessiert die Menge der reellen Zahlen, die man auf diese Weise erhält. Dabei ist erstaunlich, dass hier die Goldene Schnittzahl eine Rolle spielt. Ein weiterer Zugang und eine Veranschaulichung der Problemstellung führt über den APOLLONIUS-Kreis.

Erhard Quaisser

Konstruktion mit dem Lineal allein

Konstruktionenmit Zirkel und Lineal sind gut untersucht,was lässt sich aber allein mit dem Lineal aus den gegebenen Ecken eines regulären n-Ecks der Kantenlänge 1 konstruieren? Eine Strecke der Länge√7 aus den Ecken eines regulären Sechsecks mit Kantenlänge 1 zu konstruieren, war die nicht allzu schwere 3. Aufgabe der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2014. Um das Problem viel allgemeiner zu behandeln, benötigt man neben elementarer Geometrie und vielen Zeichnungen auch Hilfsmittel aus ganz anderen Bereichen wie MINSKOWSKIscher Gitterpunktsatz, TSCHEBYSCHEW-Polynome und quadratisches Reziprozitätsgesetz.

Eric Müller

Dreiecke – mal groß, mal klein

Die zweite Aufgabe der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2016 behandelt ein Zwei-Personen-Spiel, bei dem abwechselnd die Eckpunkte eines Dreiecks festgelegt werden. Die Spieler verfolgen dabei unterschiedliche Ziele: Den Flächeninhalt des Dreiecks zu maximieren bzw. zu minimieren. Diese interessante Konstellation wird in diesem Beitrag analysiert, und es werden verschiedene Lösungen der Aufgabe vorgestellt.

Robert Strich

Ein Meteoriten-Beweis

Ziel mathematischen Denkens ist es oft, zu einem Theorem einen ganz einfachen kurzen Beweis zu finden, für dessen Verständnismöglichst wenigMathematikkenntnisse vorausgesetzt werden und dessen Formulierungmöglichst wenig Zeilen umfasst. Vorgestellt wird dies anhand der vierten Aufgabe der 2. Runde des BundeswettbewerbsMathematik 2017:” Weise nach, dass es unendlich viele Tripel von aufeinander folgenden ganzen Zahlen gibt, die man als Summe einer ganzen Kubik- und einer ganzen Quadratzahl darstellen kann“. Die Suche nach einem einfachen und kurzen Beweis in Form der Angabe eines einfachen Terms in Abhängigkeit eines ganzzahligen Parameters wird dargestellt, sie stellt sich als langwierig heraus und erfordert teilweise höhere Mathematik. Ein zusätzlicher Reiz dieser Aufgabe besteht darin, dass man durch eine sehr kleine Veränderung von Voraussetzungen von dem intensiv beforschten Gebiet der Summen zweier ganzer Quadratzahlen auf gänzlich unbearbeitetes Terrain vorstößt.

Karl Fegert

Eine Pralinenschachtel mit versteckter Drehsymmetrie

Das Gebiet der Funktionalgleichungen taucht in mathematischen Schülerwettbewerben regelmäßig auf; in der 50- jährigen Geschichte des BundeswettbewerbsMathematik war es (nur) sechsmal vertreten. Die Funktionalgleichungen von CAUCHY sowie zahlreiche andere Beispiele aus verschiedenenWettbewerben bieten eine Übersicht über das Thema und seine Vielfalt. Die hier vorgestellte Aufgabe wirdüber verschiedene Zugänge gel öst, wobei Wert auf Anschauung und Entschl üsselung zunächst verborgener Symmetrieeigenschaften gelegt wird. Erfolgreiche und fehlerhafte Lösungsversuche der Wettbewerbsteilnehmer geben Einblick in die speziellen Herausforderungen gerade dieser Aufgabe, deren Entstehen ebenfalls beschrieben ist.

Horst Sewerin

Algebraische Zahlen distanzieren sich von den rationalen

Nicht-rationale algebraische Zahlen haben eine erstaunliche Eigenschaft, die aus ihrer arithmetischen Genese abgeleitet werden kann: Sie distanzieren sich von den rationalen Zahlen, d. h., wenn die Nenner von rationalen Zahlen begrenzt sind, kommt man mit ihnen nicht beliebig nahe an eine nicht-rationale algebraische Zahl heran. Diese Tatsache nutzte Liouville um eine transzendente Zahl zu konstruieren. Für uns löst dieses Phänomen eine Aufgabe zur Dezimaldarstellung von $$ \sqrt 2 $$, bei der wir die Aussage noch ein klein wenig verschärfen können. Von der Zahl $$ \sqrt 2 $$ wird vermutet, dass sie normal ist. Unsere Beobachtungen stehen dem nicht entgegen.

Rainer Kaenders

50 Jahre Bundeswettbewerb Mathematik – Aufgaben 1970–2020

Frontmatter

Aufgaben 1970–2020

Der Teil II des Buches enthält alle Aufgaben, die im Rahmen des BundeswettbewerbsMathematik seit 1970 gestellt wurden. In übersichtlicher Form sind die insgesamt 404 Aufgaben (bis einschließlich 1. Runde 2020), die aus den Gebieten Algebra, Kombinatorik, Geometrie und Zahlentheorie stammen, dokumentiert. Diese einzigartige kompakte Sammlung stellt ein herausragendes Kompendium an mathematischen Problemen dar, welches zum Training in Vorbereitung auf Mathematik-Wettbewerbe genutzt werden kann.

Eckard Specht, Erhard Quaisser, Patrick Bauermann

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