Hydrodynamik

Während sich die Thermodynamik vor allem mit Systemen im thermodynamischen Gleichgewicht beschäftigt, ist in der Strömungslehre der räumliche und zeitliche Verlauf von Prozessen in Systemen von Interesse, die sich nicht im Gleichgewicht befinden. Infolgedessen sind die globalen Zustandsgrößen der Thermodynamik wie Druck p und Temperatur T nicht mehr ausreichend, um Strömungsprozesse zu beschreiben: Sie werden durch lokale Größen ersetzt, zwischen denen jedoch die gleichen Zusammenhänge wie in der Gleichgewichtsthermodynamik gelten. In der Einleitung wird diese hydrodynamische Beschreibung auf der Basis von fünf Gleichungen eingeführt. Der Zusammenhang zu den verwandten und den übergeordneten Disziplinen wird dargestellt.

Ideale Fluide haben keine Viskosität und keine Wärmeleitung. Es werden die fünf Grundgleichungen diskutiert: Kontinuitätsgleichung, Euler-Gleichungen als Bewegungsgleichungen, und Adiabatengleichung – samt Randbedingungen. Die Bernoulli-Gleichung und Beispiele für ihre Anwendung werden besprochen, sowie die Euler-Gleichungen im linearisierten Fall, der beispielsweise die Ableitung der Schwingungsgleichung ermöglicht – wir diskutieren die d’Alembert’sche Lösung. Nach hydrostatischen Problemen wird der Energie- und Impulsstrom im Fluid untersucht, dann die Zirkulation; der Thomson’sche Satz für die Erhaltung der Zirkulation wird abgeleitet. Potenzialströmungen werden untersucht, und Vereinfachungen für inkompressible Fluide diskutiert. Zweidimensionale Strömungsprobleme lassen sich durch die Einführung der Stromfunktion zusätzlich zum Geschwindigkeitspotenzial auf die Cauchy-Riemann’schen Differenzialgleichungen für das komplexe Potenzial abbilden, und dann mit Methoden der Funktionentheorie lösen. Wasserwellen werden als Oberflächenwellen an der Grenze zweier Medien untersucht und die Dispersionsrelationen in flachem und tiefem Wasser werden behandelt; für Kapillarwellen ergibt sich anomale Dispersion.

Bei Strömungen viskoser Fluide untersucht man die Auswirkungen von Prozessen mit Energiedissipation auf die Geschwindigkeitsverteilung. Aufgrund der inneren Reibung (Viskosität) und der Wärmeleitfähigkeit wird die Strömung thermodynamisch irreversibel. Die Kontinuitätsgleichung bleibt bei viskosen Fluiden unverändert, in die Euler’schen Gleichungen werden jedoch zusätzliche Terme eingeführt, die über den Viskositätskoeffizienten η und den Zähigkeitskoeffizienten ζ die Energiedissipation berücksichtigen; so kommt man zu den Navier-Stokes-Gleichungen für die Geschwindigkeitsverteilung eines viskosen Fluids. Daraus ergibt sich die Druckverteilung über eine Gleichung vom Poisson’schen Typ. Aus Viskosität folgt Energiedissipation, die Umwandlung von Bewegungsenergie in Wärme. Die dissipierte Energie wird berechnet und für den Fall der Poiseuille-Strömung durch ein Rohr wird das Hagen-Poiseuille’sche Gesetz aus den Grundgleichungen abgeleitet. Die Reynolds’sche Zahl als erstes Kriterium für den Übergang zur Turbulenz wird eingeführt und die Stokes’sche Formel sowie die Oseen’sche Gleichung für Strömungen mit kleiner Reynoldszahl werden diskutiert. Das Geschwindigkeitsprofil des laminaren Nachlaufs in einiger Entfernung hinter einem Körper wird berechnet.

Laminare Strömungen eines viskosen Fluids werden für große Reynolds-Zahlen im Allgemeinen instabil gegenüber infinitesimalen Störungen: Die Störung klingt nicht mit der Zeit ab, sondern wächst an; die Strömung wird turbulent. Für jeden Strömungstyp gibt es dabei ein eigenes Re _krit. Im turbulenten Fall lassen sich die Navier-Stokes-Gleichungen mit einer turbulenzerzeugenden Kraft schreiben. Man berechnet dann statistische Mittelwerte der physikalisch relevanten Größen wie die mittlere Geschwindigkeit, die mittlere dissipierte Energie pro Zeit- und Masseneinheit etc. In manchen Fällen – z. B. beim Wirbelverteilungsgesetz für entwickelte Turbulenz – sind analytische Näherungslösungen möglich. Bei vielen Strömungstypen gibt es keine Instabilität, aber dennoch Turbulenz, so dass eine doppelte Schwelle – Reynoldszahl und Störstärke – betrachtet werden muss. Beispiele für Strömungen, die über infinitesimale Instabilitäten turbulent werden, sind Taylor-Couette und Rayleigh-Bénard Strömung. Die Landau’sche Theorie für den Weg zur Turbulenz über Instabilitäten wird diskutiert, Beispiele für entwickelte Turbulenz in astrophysikalischen Umgebungen werden gegeben.

Bei sehr großen Reynolds-Zahlen kann das Fluid als ideal angesehen werden. Dies gilt jedoch nicht in der Nähe fester Wände, da dort für viskose Fluide v \({}_{\perp}\) = v \({}_{\parallel}\) = 0 am Rand, beim idealen Fluid nur die Normalkomponente v \({}_{\perp}\) = 0 sein muss. Die Abnahme von v auf null für große Reynolds-Zahlen erfolgt fast vollständig in einer dünnen Fluidschicht an den Wänden, der Grenzschicht. Hier haben die Geschwindigkeitsgradienten hohe Werte; die Strömung kann dort laminar oder turbulent sein. Die Zähigkeit verursacht den Geschwindigkeitsabfall in der Grenzschicht bis zu v = 0. Der Rand der Grenzschicht ist nicht scharf. Die Bewegungsgleichungen in der Grenzschicht für eine zweidimensionale stationäre Strömung werden abgeleitet und durch geeignete Näherungen in die Prandtl’schen Gleichungen umgeformt, die eine große Zahl spezieller Lösungen haben.

Mit Berücksichtigung von Viskosität und Wärmetransport besteht das Gleichungssystem der Hydrodynamik aus den Navier-Stokes-Gleichungen, der Kontinuitätsgleichung und einer fünften – thermodynamischen – Gleichung. Sie tritt an die Stelle der Adiabatengleichung bei idealen Fluiden, welche dort für die Erhaltung der Entropie steht. Wegen der irreversiblen Energiedissipation ist bei viskosen Fluiden die Entropie nicht erhalten; vielmehr wächst sie an. Der Energiestrom enthält jetzt außer dem idealen Anteil einen Term infolge der inneren Reibung sowie einen Beitrag zum Strom von Orten hoher zu Orten niedriger Temperatur, die uns über den Energieerhaltungssatz zur Wärmetransportgleichung führen. Diese ersetzt bei realen Fluiden die Adiabatengleichung. Bei inkompressiblen Fluiden lässt sie sich vereinfachen; im Fall einer ruhenden Flüssigkeit wird sie zur Wärmeleitungsgleichung. Wir können sie für ein unbegrenztes Medium leicht über Fourier-Transformation lösen. Sind die Temperaturdifferenzen groß gegen die Temperaturveränderungen durch Wärmeentwicklung bei der Energiedissipation, entsteht Konvektion als Strömung in einer ungleichmäßig erwärmten Flüssigkeit.

Neben Wärmeleitung und Viskosität kann auch Diffusion die Ursache von Energiedissipation in Flüssigkeiten sein. Bisher haben wir das Fluid als homogen angenommen. Bei Gemischen, deren Zusammenhang vom Ort abhängt, werden die hydrodynamischen Gleichungen wesentlich abgeändert. Erfolgt der Konzentrationsausgleich durch zeitlich irreversible Diffusion, so ändert sich die Zusammensetzung durch molekularen Massentransport aus einem Teilvolumen in ein anderes. Diffusion wird dann neben Wärmeleitung und Viskosität zur Ursache der Energiedissipation in einem Flüssigkeitsgemisch. Ein anderes vielzitiertes Beispiel für Diffusion ist die Brown’sche Bewegung von Teilchen, die in einer Flüssigkeit suspendiert sind, aufgrund molekularer Stöße – Einstein hat 1905 die grundlegende Theorie dazu publiziert. Diffusion spielt in vielen physikalischen, chemischen und biologischen Systemen eine Rolle. In relativistischen Schwerionenreaktionen an Teilchenbeschleunigern wie RHIC in Brookhaven und LHC in Genf lassen sich Diffusionsprozesse in Vielteilchensystemen (im Ensemble der aus der relativistischen Energie erzeugten stark wechselwirkenden Hadronen) untersuchen.

Die relativistische Hydrodynamik beschreibt die Dynamik von Fluiden mit Hilfe des Energie-Impuls-Tensors und der relevanten Erhaltungssätze. Ist die mittlere freie Weglänge zwischen Kollisionen klein verglichen mit der vom Beobachter benutzten Längenskala, so ist die Flüssigkeit ideal. Für einen mitbewegten Beobachter ist sie auch isotrop. In diesem Fall wird der Energie-Impuls-Tensor besonders einfach. Wir diskutieren zunächst den Energie-Impuls-Tensor eines idealen relativistischen Fluids in einem flachen Minkowski-Raum und untersuchen den nichtrelativistischen Grenzfall. Die relativistischen Bewegungsgleichungen folgen direkt aus der Viererimpulserhaltung. Sie entsprechen den Euler-Gleichungen im nichtrelativistischen Fall, sind jedoch invariant gegenüber Lorentz-Transformation. (Im viskosen Fall hat der Energie-Impuls-Tensor dissipative Korrekturterme; die Ableitung des relativistischen Analogons der Navier-Stokes-Gleichung ist daher komplizierter). Die Teilchenzahlerhaltung wird durch das relativistische Analogon zur Kontinuitätsgleichung ausgedrückt. Die relativistische Hydrodynamik ist in der heutigen Forschung von der Teilchenphysik bis hin zur Kosmologie ein sehr erfolgreiches Werkzeug.

Das Gebiet der astrophysikalischen Hydrodynamik konzentriert sich auf die Betrachtung statischer und dynamischer Probleme bei Fluiden in nichtterrestrischen Umgebungen. Da Sterne aus Gasen bestehen, sollten dort kinetische Gastheorie und Gasdynamik dominieren. Das Gas ist jedoch meist im Wesentlichen homogen und erzeugt sein eigenes Gravitationsfeld; es simuliert so die Bewegung eines Fluids im Feld. Die mittlere freie Weglänge ist im Vergleich zu jeder relevanten Größenskala des Sterns klein, so dass Störungen ausgewaschen werden und die Sternstruktur kontinuierlich ist. Sterne (und andere kosmische Materieansammlungen) können also stets auf bestimmten Längen- und/oder Zeitskalen durch eine hydrodynamische Approximation beschrieben werden. Alle Arten von hydrodynamischem Fluss, die sich auf der Erde beobachten lassen, finden sich auch im Universum, jedoch auf wesentlich größeren Skalen. Hier werden Schockwellen in der Astrophysik und die Rankine-Hugoniot-Bedingungen als ein repräsentatives Kapitel herausgegriffen.

Die Hydrodynamik von Superfluiden wie ⁴He bei sehr tiefen Temperaturen (He II) wird auf der Basis einer Theorie beschrieben, die Tisza und Landau unabhängig voneinander für He II entwickelt haben. Für T _λ > T > 0 verhält sich He II wie ein Gemisch aus zwei Flüssigkeiten: einem superfluiden Anteil ohne Viskosität; und einem normalen, viskosen Anteil. Es wird dabei kein Impuls zwischen den Komponenten übertragen, d. h., es gibt keine Reibung zwischen den beiden Fluidkomponenten. Wir diskutieren die hydrodynamischen Gleichungen für He II und die Schallausbreitung in Superfluiden: Schwingen normale und superfluide Masse als Ganzes, entsteht eine gewöhnliche Schallwelle. In einer Welle des zweiten Schalls schwingen normale und superfluide Flüssigkeit gegeneinander und der resultierende Massenstrom verschwindet.

Die Testaufgaben in diesem Abschnitt sollen die Leserinnen und Leser motivieren, den Stoff nochmals durchzugehen, selbst beispielhaft nachzurechnen und so das Gelernte zu festigen. Die Mehrzahl der Lösungen lassen sich bereits im jeweiligen Kapitel finden, einige der Lösungen sind jedoch hier aufgeführt.