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Erschienen in:

2013 | OriginalPaper | Buchkapitel

Chapter 1 Elliptic Functions

verfasst von : Umberto Bottazzini, Jeremy Gray

Erschienen in: Hidden Harmony—Geometric Fantasies

Verlag: Springer New York

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Abstract

On 28 June 1830 the Académie des sciences in Paris, the leading scientific institution of the day, announced that its Grand Prize in mathematics of 3,000 francs devoted to work which “presents the most important application of mathematical theories …or which contains a very remarkable analytical discovery” would be divided equally between Carl Gustav Jacob Jacobi in Königsberg and the family of the late Niels Henrik Abel of Christiania.

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Procès-verbaux des séances de l’Académie 9 (1921), 466. The Commission consisted of Poisson, Poinsot, Legendre, with Lacroix as rapporteur.

Procès-verbaux des séances de l’Académie 9 (1921), 373. Poisson’s Rapport was published as his (1831).

Procès-verbaux des séances de l’Académie 9 (1921), 400.

For Poisson’s life and work, see Métivier et al. (1981).

The work of Euler and Lagrange dominates eighteenth-century mathematics. On Euler, the reader may start with the online Euler Archive, which gives access to all of his works as well as many commentaries. Burckhardt’s Euleriana updated to 1983 fills up pages 511–552 of Euler (1983a). As for Lagrange’s life and work, see Loria (1913), Burzio (1963), and Borgato and Pepe (1990).

For a recent discussion, see Ferraro (2008).

Grabiner (1981), see also Bottazzini (1992a).

Publication is another matter and seems to have begun with Euler (1750).

Differentiating the equation for the lemniscate gives \(rdr = -\sin \left (2\theta \right )d\theta\). The element of length is given by \(d{s}^{2} = d{r}^{2} + {r}^{2}{d\theta }^{2}\), and eliminating \(\theta\) gives this expression for arc-length: \(d{s}^{2} = \frac{d{r}^{2}} {1-{r}^{4}}\), whence the claim. The total arc length of the lemniscate is denoted 2ω.

The connection of elliptic integrals with elastic beams went back to Jakob Bernoulli who in his study of the elastica in the 1690s was led to consider the differential \(dy = \frac{{x}^{2}dx} {\sqrt{{c}^{4 } -{x}^{4}}}\) (c constant). After some attempts at expressing y in terms of exponentials he stated he had “weighty grounds” for believing that the integral could not be expressed by means of quadratures or rectifications of any conic section.

According to Truesdell (1960, 174) Euler seemed “particularly proud” of this result, “and he comes back to it again and again, until finally it reveals itself to him as only a special case of the addition theorem for elliptic integrals”.

As he did in Legendre (1788b).

According to the English translator, Lacroix added a note to his Traité (1797–1798) to say that this interesting memoir had become very rare, and the translation was published at the request of several eminent mathematicians; see Leybourn’s Mathematical Repository, (2) 2 (1809, 1).

See Euler, O.O. (1) 20, 40.

See Enneper (1876, 353 and 358). Landen’s transformation, introduced by him in his (1775), is equivalent to this transformation of the moduli: \(k_{1} = \frac{1-k^{\prime}} {1+k^{\prime}}\).

Quoted in Ore (1957, 210).

See Jacobi (1832b, 5). Partial English translation in Birkhoff (1973, 207–212).

Quoted in Koenigsberger (1904b, 54) and Krazer (1909, 55n).

Abel’s short life has been well told in many places, for example Ore (1957) and most recently Stubhaug (2000). Stubhaug’s fascinating account is much fuller on Abel’s life and times, Ore’s remains more reliable on the mathematics. The richest account of his mathematics is Houzel (2004).

Quoted in Ore (1957, 65).

The quotes from Crelle and Hansteen are given in Bjerknes (1885, 92).

All quotations from Abel (1902, 45–46); see also Ore (1957, 147) and Stubhaug (2000, 405).

See Abel (1881, 2, 261), and Ore (1957, 154).

For the sake of convenience here, and everywhere in this book, we write i instead of \(\sqrt{-1}\) even though \(\sqrt{-1}\) was commonly used by mathematicians until the late 1840s. Abel himself wrote “where i to abbreviate, represents the imaginary quantity \(\sqrt{-1}\)”. In this he followed Gauss’s usage in the Disquisitiones arithmeticae of 1801. The first to use i to denote the imaginary unit was Euler in his (1777d), presented to the St. Petersburg Academy on May 5, 1777 but published only in 1794 as Supplement IV to Vol. 1, Chap. V of his Institutiones calculi integralis. There (p. 184) he stated: “In the following I will designate the formula \(\sqrt{-1}\) by the letter i such that it will be i i = − 1 and − 1 ∕ i = i as well.” It is likely that Gauss was prompted by this to make a systematic use of i.

The actual number is n ² if n is odd and 2n ² if n is even. The solutions are \(\phi \left (\frac{u} {n} + 2\frac{m\omega +\mu \varpi i} {n} \right )\) when n is odd and \(\phi \left ({(-1)}^{m+\mu } \frac{u} {n} + 2\frac{m\omega +\mu \varpi i} {n} \right )\) when n is even, 0 ≤ m, μ < n. See Houzel (1978, 24).

Information taken from Elon (1999, 20). See also Elon (2002).

Dirichlet (1852, 7).

Jacobi wrote the new function as a composite: the sine of the amplitude of ξ. As the function became more widely used its name contracted to s i n a m and eventually to s n.

See Legendre and Jacobi (1875, 224).

Quoted in Ore (1957, 189).

See Abel (1902, 68). Engl. trl. in Ore (1957, 190).

Gauss to Bessel, 30 March 1828, in Gauss (1880, nr. 63).

The work of Landen and Lagrange is prominent in this connection. There was also a long tradition of work on the rectification of ellipse. See Enneper (1876, Sect. 44) and Houzel (1978).

See Gauss (1818), discussed in Geppert (1927).

For a short modern explanation, see the Appendix at the end of this chapter.

We shall not pursue the ways the theory of complex multiplication was to enrich number theory. See the references in Goldstein et al. (2007) or, for a modern mathematical account (Silverman, 1986).

See Abel (1902, 77–79).

Abel (1902, 90). Engl. trl. in Ore (1957, 213).

Gauss wrote to Schumacher on 19 May to say that “Abel’s death, …is a very great loss to science”. Quoted in Dunnington (2004, 255).

See Abel (1829b, 521) where he referred to his (1826a).

See Gray (2000a, 116–118).

See Dirichlet (1852, 10).

The term “pole” was first introduced in Neumann (1865a, 38).

See the very helpful exposition by Eric Conrad: Jacobi’s Four Square theorem, at http://www.math.ohio-state.edu/econrad/Jacobi/sumofsq/sumofsq.html

Given a fascinating discussion in Bos et al. (1987).

See Goldstein et al. (2007).

See Dunnington (2004, 498) and for a vigorous defence of Legendre’s rights in the matter Stigler (1986).

This material includes Gauss’s diary (for an English translation, see Gray 1984b, reprinted with corrections in Dunnington 2004) which enables some discoveries to be dated precisely, some of Gauss’s pocket notebooks, often dated on the first page, and other jottings including marginalia. From this it is possible to build up a reasonably detailed chronology of events, as was done by Schlesinger (Gauss, Werke, 10.2), and we shall follow his chronology except at one point, to be mentioned below. Accordingly, we have suppressed all the analysis of how the discoveries are dated. The interested reader should consult Cox (1984) and the essay by Schlesinger.

Here we follow the draft Elegantiores integralis \(\int \frac{dx} {\sqrt{1-{x}^{4}}}\) proprietatis, which dates from before 1801, see Gauss Werke 3, 404–412.

Two days later he showed that the lemniscate is divisible by ruler and compass into five parts, thus finding an unexpected parallel between the divisibility theories of the lemniscate and the circle.

Convergence only fails if the initial values chosen include 0.

Gauss did not check the convergence of this series, but the agm converges very fast and its use is the key to the rapid evaluation of elliptic integrals.

Schlesinger (1912, 63) suggested that it was the appearance of the reciprocal of M(1, √2) that led Gauss to consider not the agm in general but its reciprocal.

For example, the addition theorem, written down in November 1799, see (Werke 10.1, 196).

This term was introduced by Briot and Bouquet in (1875, 14).

The word “merely” here is ironic; the step is hardly an easy one.

See (Werke 10.1, 194 and 197), and (Cox, 1984, 325).

Schlesinger suggests that Gauss was aware of the much more precise limit \(\mathop{\lim }\limits _{x\rightarrow \infty }\frac{1} {x}M\left (1,x\right )\log 4x =\pi /2\), see (Werke 10.1, 268).

How this can be done is well described in Cox (1984).

For its prehistory see Schlesinger’s essay and for the later history of this important equation (Gray, 2000a).

Gauss used it to deal with the net gravitational effect of a planet in an elliptical orbit in Gauss (1818). See the German translation and commentary by Geppert in 1927.

Legendre introduced the symbol Γ for the Gamma function in his (1811–1817, 1, 277). Euler had come across the Gamma function in his (1729).

This is Gauss (1812b), which continues (Gauss, 1812a) and is numbered in consecutive sections.

The observation that the hypergeometric series satisfies the hypergeometric equation had been made by Euler in his Institutionum calculi integralis, vol. 2, Part 1, Chaps. 8–11 and later in the paper (Euler, 1778) published posthumously.

See Gauss’s unpublished notes of 1809, Werke 10.1, 343 for a mention of this special case.

See Gauss (Werke 10.1, 404–405).

For the whole letter see Werke 10.1, 365–371, these quotations come from pp. 366–367.

For an account of eighteenth century attempts on the FTA including an evaluation of d’Alembert’s proof and Gauss’ criticism of it, see Gilain (1991) and his introduction in d’Alembert (2007).

Remmert has aptly remarked that “the Gaussian objection against the attempts of Euler–Lagrange was invalidated as soon as Algebra was able to guarantee the existence of a splitting field for every polynomial” (in Ebbinghaus et al. 1990, 105). Remmert went on to point out that this had been already observed by Kneser (1888, 21).

Remmert, perhaps sticking too closely to Gauss’s words, commented on this that “until 1849 all proofs, including those found in the intervening period by Cauchy, Abel, Jacobi and others, dealt with real polynomials only. It was only in his fourth proof, which is a variant of the first, that Gauss in 1849, the time now being ripe for this step, allowed arbitrary complex polynomials” (in Ebbinghaus et al. 1990, 108). As we will see in Sect. 2.5, however, contrary to this claim the theorem was stated and proved for complex polynomials already by Argand (1806, and 1814–1815) not to mention Cauchy (1821a).

For a modern account of Gauss’s first and fourth proof, see Ostrowski (1920).

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Cauchy, A.-L. 1841e. Formules pour le développement des fonctions en séries. Ex. An. Phys. Math. 2, 50–98 in O.C. (2) 12, 58–112.

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Cauchy, A.-L. 1842a. Mémoire sur l’emploi du nouveau calcul, appelé calcul des limites, dans l’intégration d’un système d’équations différentielles. CR 15, 14–25 in O.C. (1) 7, 5–17.

Cauchy, A.-L. 1842b. Mémoire sur l’emploi du calcul des limites dans l’intégration des équations aux dérivées partielles. CR 15, 44–59 in O.C. (1) 7, 17–33.

Cauchy, A.-L. 1842c. Mémoire sur l’application du calcul des limites à l’intégration d’un système d’équations aux dérivées partielles. CR 15, 85–101 in O.C. (1) 7, 33–49.

Cauchy, A.-L. 1843a. Note sur le développement des fonctions en séries ordonnées suivant les puissances entières positives et négatives des variables. CR 17, 193–198 in O.C. (1) 8, 5–10.

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Cauchy, A.-L. 1843c. Mémoire sur l’application du calcul des résidus au développement des produits composés d’un nombre infini de facteurs. CR 17, 572–581 in O.C. (1) 8, 55–65.

Cauchy, A.-L. 1843d. Mémoire sur une certaine classe de fonctions transcendantes liées entre elles par un système de formules qui fournissent, comme cas particuliers, les développements des fonctions elliptiques en séries. CR 17, 640–651 in O. C. (1) 8, 65–76.

Cauchy, A.-L. 1843e Mémoire sur les rapports entre les factorielles réciproques dont les bases varient proportionnellement, et sur la transformation des logarithmes de ces rapports en intégrales définies. CR 17, 779–787 in O. C. (1) 8, 87–97.

Cauchy, A.-L. 1843f. Sur la réduction des rapports de factorielles réciproques aux fonctions elliptiques. CR 17, 825–837 in O. C. (1) 8, 97–110.

Cauchy, A.-L. 1843g. Rapport sur un mémoire de M. Laurent, qui a pour titre: ‘Extension du théorème de M. Cauchy relatif à la convergence du développement d’une fonction suivant les puissances ascendantes de la variable x’. CR 17, 938–939 in O.C. (1) 8, 115–117.

Cauchy, A.-L. 1843h. Note sur le développement des fonctions en séries convergentes ordonnées suivant les puissances entières des variables. CR 17, 940–942 in O.C. (1) 8, 117–120.

Cauchy, A.-L. 1843i. Mémoire sur les modules des séries. CR 17, 1220–1222 in O.C. (1) 8, 133–136.

Cauchy, A.-L. 1843m. Mémoire sur la théorie des intégrales définies singulières appliquée généralement à la détermination des intégrales définies, et en particulier à l’évaluation des intégrales eulériennes. CR 16, 422–433 in O.C. (1) 7, 271–283.

Cauchy, A.-L. 1843n. Mémoire sur la théorie des intégrales définies singulières appliquée généralement à la détermination des intégrales définies, et en particulier à l’évaluation des intégrales eulériennes. Ex. An. Phys. Math. 2, 358–410 in O.C. (1) 12, 409–469.

Cauchy, A.-L. 1844a. Mémoire sur les fonctions continues. CR 18, 116–129 in O.C. (1) 8, 145–160.

Cauchy, A.-L. 1844b. Rapport sur une Note de M. Cellérier, relative à la théorie des imaginaires. CR 18, 168–169 in O.C. (1) 8, 145–162.

Cauchy, A.-L. 1844c. Mémoire sur divers théorèmes relatifs à la convergence des séries. CR 19, 141–158 in O.C. (1) 8, 264–283.

Cauchy, A.-L. 1844d. Note sur diverses propriétés remarquables du développement d’une fonction en série ordonnée suivant les puissances entières d’une même variable. CR 19, 205–209 in O.C. (1) 8, 287–292.

Cauchy, A.-L. 1844e Note sur l’application des nouvelles formules à l’astronomie. CR 19, 1228–1239 in O.C. (1) 8, 348–359.

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Cauchy, A.-L. 1846f. Mémoire sur les intégrales dans lesquelles la fonction sous le signe ∫ change brusquement de valeur. CR 23, 537 in O.C. (1) 10, 133–134.

Cauchy, A.-L. 1846g. Mémoire sur les intégrales dans lesquelles la fonction sous le signe ∫ change brusquement de valeur. CR 23, 557–563 in O.C. (1) 10, 135–143.

Cauchy, A.-L. 1846h. Mémoire sur les intégrales imaginaires des équations différentielles, et sur les grands avantages que l’on peut retirer de la considération de ces intégrales, soit pour établir des formules nouvelles, soit pour éclaircir des difficultés qui n’avaient pas été jusqu’ici complètement résolues. CR 23, 563–569 in O.C. (1) 10, 143–150.

Cauchy, A.-L. 1846i. Considérations nouvelles sur les intégrales définies qui s’étendent à tous les points d’une courbe fermée, et sur celles qui sont prises entre des limites imaginaires. CR 23, 689–704 in O.C. (1) 10, 153–168.

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Cauchy, A.-L. 1846o. Mémoire sur les diverses espèces d’intégrales d’un système d’équations différentielles. CR 23, 729–740 in O.C. (1) 10, 171–186.

Cauchy, A.-L. 1846p. Sur les rapports et les différences qui existent entre les intégrales rectilignes d’un système d’équations différentielles et les intégrales complètes de ces mêmes équations. CR 23, 779–788 in O.C. (1) 10, 186–196.

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Titel: Chapter 1 Elliptic Functions
verfasst von: Umberto Bottazzini
Jeremy Gray
Verlag: Springer New York
Buch: Hidden Harmony—Geometric Fantasies
Print ISBN: 978-1-4614-5724-4

Electronic ISBN: 978-1-4614-5725-1

Copyright-Jahr: 2013
DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4614-5725-1_2

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