Finanzmathematik

Frontmatter

Kapitel 1. Einführung in die Preistheorie

Zusammenfassung

Finanzmärkte haben entscheidenden Ein uss auf die globalisierte Weltwirtschaft und damit auf die Entwicklung unseres Planeten gewonnen. Seit den bahnbrechenden, 1997 durch die Verleihung des Nobelpreises gewürdigten Arbeiten von Black und Scholes (1973) und Merton (1973) haben die stochastischen Modellierungen von Finanzmärkten und die daraus abgeleiteten mathematischen Verfahren zur Preisfestsetzung von auf diesen Märkten gehandelten Finanzgütern die Theorie und Praxis der Finanzmärkte wesentlich geprägt. Von den verschiedenen Typen von Finanzmärkten seien hier angesprochen:

• Aktienmärkte, die Bilder vom Börsenparkett in Frankfurt oder New York sind vertraute Illustrationen der Fernsehnachrichten,
• Rentenmärkte, die den Handel mit festverzinslichen Wertpapieren regeln,
• Währungsmärkte, die den Kauf und Verkauf von Währungen regulieren und damit die Wechselkurse bestimmen,
• Warenmärkte, zum Handel mit Waren wie Öl und Gold.

Albrecht Irle

Kapitel 2. Stochastische Grundlagen diskreter Märkte

Zusammenfassung

Wir betrachten einen Finanzmarkt mit g Finanzgütern, in dem zu endlich vielen Zeitpunkten Handel möglich sei. Diese Zeitpunkte seien mit t = 0, … , n durchnumeriert. Ein solches Finanzmarktmodell werden wir als n-Perioden-Modell bezeichnen.

Albrecht Irle

Kapitel 3. Preistheorie im n-Perioden-Modell

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir die Preistheorie für n-Perioden-Modelle behandeln. Dazu werden die Begriffsbildungen, die wir im Ein-Perioden-Modell kennengelernt haben, auf den Fall endlich vieler Handelszeitpunkte erweitert.

Albrecht Irle

Kapitel 4. Amerikanische Claims und optimales Stoppen

Zusammenfassung

Wir wollen in diesem Kapitel Finanztitel betrachten, bei denen innerhalb eines festgelegten Zeitraums der Besitzer eines solchen Titels den Ausübungszeitpunkt frei wählen kann. Da die Entscheidung für die Ausübung zu einem Zeitpunkt i nur von bis dahin am Finanzmarkt zur Verfügung stehenden Informationen abhängen darf, werden wir Strategien des Titelbesitzers zur Wahl des Ausubungszeitpunkts als Stoppzeiten in unserem Modell betrachten.

Albrecht Irle

Kapitel 5. Der Fundamentalsatz der Preistheorie

Albrecht Irle

Kapitel 6. Stochastische Grundlagen kontinuierlicher Märkte

Zusammenfassung

Die Finanzmarktrealität beschränkt sich nicht auf endlich viele diskrete Handelsperioden, sondern bietet ein Kontinuum von Handelszeitpunkten. Zur wirklichkeitsnahen Modellierung haben wir daher stochastische Prozesse mit kontinuierlichem Zeitparameter zu benutzen, wie sie schon in der Definition von stochastischen Prozessen in 2.4 eingeführt worden sind.

Albrecht Irle

Kapitel 7. Der Wienerprozess

Zusammenfassung

Da wir die Preisentwicklungen an kontinuierlichen Finanzmärkten durch stochastische Prozesse mit kontinuierlichem Zeitparameter zu beschreiben haben, stellt sich uns sofort die Frage, wie wir die konkrete Modellierung durchführen wollen, d. h. welche stochastischen Prozesse wir zur Modellbildung heranziehen wollen. Die derzeit gebräuchlichen Modelle basieren auf dem Wienerprozess, der oft auch als Brownsche Bewegung bezeichnet wird. Inhalt des Kapitels ist die Beschreibung dieses stochastischen Prozesses und seiner für uns wesentlichen Eigenschaften.

Albrecht Irle

Kapitel 8. Das Black-Scholes-Modell

Zusammenfassung

Wir werden in diesem Kapitel das Black-Scholes-Modell behandeln. Aufstellung und Untersuchung dieses Modells fährte in den bahnbrechenden Arbeiten von Black und Scholes (1973) und Merton (1973) zur Theorie der Bewertung von Finanzderivaten. Obwohl das Black-Scholes-Modell die realen Verhältnisse sicherlich nicht vollständig widerspiegelt, so hat es sich doch in der Praxis der Finanzmärkte bewährt und wird dort mit seinen vielfältigen Modifikationen und Weiterentwicklungen als Marktstandard eingesetzt.

Albrecht Irle

Kapitel 9. Das stochastische Integral

Zusammenfassung

In den folgenden drei Kapiteln werden die Grundbegriffe der stochastischen Integrationstheorie bereitgestellt, deren Kenntnis erst ein vertieftes Verständnis des Black-Scholes-Modells und seiner Verallgemeinerungen ermöglicht. Wir beginnen mit einigen Gedanken zur Motivation der sich anschließenden, recht aufwendigen theoretischen Überlegungen.

Albrecht Irle

Kapitel 10. Stochastische Integration und Lokalisation

Zusammenfassung

Wir werden in diesem Kapitel zunächst einige einfache Eigenschaften des stochastischen Integrals kennenlernen. Die Herleitung dieser Eigenschaften geschieht in der Regel so: Für elementare previsible Prozesse, für die das stochastische Integral ja pfadweise definiert worden ist, können wir die Gültigkeit direkt nachprüfen.

Albrecht Irle

Kapitel 11. Quadratische Variation und die Itô-Formel

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir die wichtigste Rechenregel für die stochastische Integration bzgl. eines stetigen lokalen Martingals kennenlernen, die als Itô-Formel bekannt ist.

Albrecht Irle

Kapitel 12. Das Black-Scholes-Modell und stochastische Integration

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt geben wir eine vertiefte Darstellung des Black-Scholes-Modells unter Benutzung der Theorie der stochastischen Integration. Erinnert sei an die Beschreibung des Black-Scholes-Modells in Kapitel 8 als kontinuierliches Finanzmarktmodell mit endlichem Horizont T und zwei Finanzgütern.

Albrecht Irle

Kapitel 13. Märkte und stochastische Differentialgleichungen

Albrecht Irle

Kapitel 14. Anleihenmärkte und Zinsstrukturen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel sollen Finanzgüter mathematisch untersucht werden, deren Auszahlungen und Preise sich im Kontext von Zinsstrukturen bewegen. Als grundlegende am Markt gehandelte Finanzgüter betrachten wir dabei die schon in 3.27 auftretenden Nullkouponanleihen, Zero-Coupon-Bonds, die zum Fälligkeitszeitpunkt T die feste Auszahlung 1 erbringen. Bonitätsrisiken werden dabei ausgeschlossen, so dass eine solche Nullkouponanleihe zum Zeitpunkt T den deterministischen Wert 1 besitzt.

Albrecht Irle

Kapitel 15. Unvollständige Märkte und stochastische Volatilitäten

Zusammenfassung

In der mathematischen Modellierung folgen wir dem ökonomischen Postulat der Arbitragefreiheit. Im Fall des diskreten Zeitparameters haben wir gezeigt, dass Arbitragefreiheit äquivalent zur Existenz eines äquivalenten Martingalmaßes ist, siehe Kapitel 5. Bei kontinuierlichem Zeitparameter treten etliche mathematische Probleme technischer Natur auf. Wir stellen hier nur fest, dass Arbitragefreiheit und Existenz eines äquivalenten Martingalmaßes unter geeignet modifizierten Begriffsbildungen als äquivalent anzusehen sind. Für eine Behandlung der diffizilen mathematischen Sachverhalte im Fall kontinuierlicher Zeit sei auf die Monographie von Delbaen und Schachermayer (2006) verwiesen.

Albrecht Irle

Kapitel 16. Märkte mit Sprüngen

Zusammenfassung

Wir wollen in diesem Kapitel eine Einführung in Marktmodelle mit Sprüngen geben. Dazu beginnen wir mit der mathematischen Einführung von Sprungprozessen und behandeln dann grundlegende Methoden aus der stochastischen Analysis für solche Prozesse.

Albrecht Irle

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